Question

みみ

（2）で0と4の間に-aが入ることになっていますが、-a、0、4や0.4-aの並びになることはないのでしょうか？教えて頂きたいです。

総合
a を実数とし, 曲線C を y=x3+(a-4)x2+(-4a+2)x-2とする。
38V (1) 曲線Cは,αの値に関係なく2定点を通る。 その定点をA,Bとするとき, 点Aと点Bの
座標を求めよ。
(2) 曲線 C が線分AB (点 A, B は除く) と交わるαの値の範囲を求めよ。
(3) a (2) で求めた範囲にあるとき, 線分AB と曲線 C で囲まれた部分の面積Sを求めよ。
(4)(3)のSについて, Sの最小値とそのときのαの値を求めよ。
(1) 曲線 C の方程式をαについて整理すると
(x2-4x)a+x3-4x2+2x-2-y=0
これが αの値に関係なく成り立つための条件は,次の① ②
が同時に成り立つことである。
①,
x²-4x=0 ...... 1, x-4x2+2x-2-y=0_
......
②
[岐阜大]
本冊数学Ⅱ 例題 82,250
← αの値に関係なく･･･
→αについての恒等式
と考える。

①から
x(x-4)=0
よって
x=0,4
②から
x=0のとき y=-2,
数学Ⅱ 311
x=4のとき y=6
したがって,点Aと点Bの座標は
(0, -2), (4, 6)
(2) 直線 AB の方程式は
y-(-2)=6-(-2)
-x すなわち y=2x-2
4-0
直線 AB の方程式と曲線Cの方程式からyを消去すると
x3+(a-4)x2+(-4a+2)x-2=2x-2
すなわち x+(a-4)x²-4ax=0
よって
x(x-4)(x+α)=0
ゆえに x=0, 4, -a
-d
曲線Cが点 A,Bとは異なる点で線分AB と交わるのは,
0 < -α < 4 すなわち -4 <a< 0 のときである。
←x=4のとき
64-64+8-2-y=0
←この方程式のx=0, 4
以外の解が, 0<x<4を
|満たすことが条件。
(3) f(x)=x+(a-4)x2+(-4a+2)x-2 とすると,図から
s=${f(x)-(2x-2)}dx
y
C
6
+f{(2x-2)-f(x)}dx
-a
=f(x+(a-4)x-4ax)dx
-S(x+(a-4)x2-4ax}dx
-a
O
-a 4
x
-2
線分AB
←f'(x)=3x2+2(a-4)x
-4a+2で,f'(x)=0の
判別式をDとすると
=(a-4)-3(-4a+2)
=α²+4a+10
=(a+2)^+6>0
よって, f(x) は極値を
もつ。
[定積分の計算]
F(x)
a-4
+
Ex3-2ax2
3
10
- 4x³-2ax²] - a
-[+x+4x³-2ax²]
=2{1}o'_al(g-4)_2a"}-{64+64(g-4)-32a}
a-4
x3-2ax2
3
総
4
=
6
a
4.
a³+. a+
32
64
3
3
とすると
S=F(-a)-F(0)
-{F(4)-F(-a)}
=2F(-a)-F(0)-F(4)
なお F(0)=0
2
(4)S'=-
32
2
-4a²+ ==
(a³+6a²-16)
←Sはαの4次式
3
3
3
←
微分法を利用して,
==>
=-23
-(a+2)(a²+4a-8)
S' = 0 とすると
-4 <a<0 を満たすものは a=-2
a=-2, a=-2±2√3
Sの増減を調べる。
16
0-16|-2
-2-8
16
1
4-80
-4 <a< 0 におけるSの増減表
は右のようになる。
a
-4
...
S'
よって, Sは α=-2のとき最
S
S
>
小値 8 をとる。
-2
0
20
+
極小
8
→
←2-2√3 <4<-2
<0 <-2+2√3

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

あ

直線ABではなく線分ABなので、点Aト点B を結ぶ直線の外側は入りません。

あ

ト→と