Question

あ

(3)の増減表で、tが0と1の間のときf'(x)がマイナスになるのが分かりません。

2
> 1 を満たす定数aに対し, 座標が (α, α) である点をAとする。 関数y=-(x>0)
x
P(1,1)をとり、t>0 で定義された関数f(t) , 長さ AP を用い
のグラフ上を動く点P(
てf(t) = AP2 で定める。 次の問いに答えよ。
□(1) f(t) をta を用いて表せ。
(2) f(t)=0となるt (t> 0) の値を求めよ。
□ (3) APが最小になるような点Pの座標とAPの最小値を求めよ。
('13 大阪市立大・理,医,工)

解説
対応
ブラン
難関
国公立
44
難関
私大
44
②2 文字を含む関数の最大・最小
解答の指針
この問題では変数も関数も指定されているので、指示に従い解いていけばよいが、関数に文字
係数を含むために、考え方や計算に工夫が必要である。
POINT
導関数に文字係数を含むときは場合分けをして増減表をかく
(1)で求めた関数は文字係数αを含むため (2)で求める f(t) = 0) を満たす! (t >0)の値もαの
値によって異なる値となる。したがって (3) f(t) の最小値を求めるときは,αの値の範囲で
場合分けしてそれぞれの場合で増減表をかき調べていく必要がある。
POINT
極値を求める計算が複雑なときは, f(t)=0の式を利用する
(3) f(t) の極値を求めるとき極値をとる値α, B が
と文字を含む複雑な式となるため、
f (a), f (B) を求める計算が大変になってしまう。このようなときは,α, β が f (t)=0の解
であることから,f'(α)=f'(B) = 0 を満たすことを利用して計算すると簡単に求められる。
解答 間違えた原因やどうすれば解けたかを考えながら読もう。 も参考にしよう!
Check
AP2=(t-a)+
=t²-2at+2a².
であるから.
f(t)=t^2-2at +24²-
f' (t) = 2t-2a+
(2)
f' (t) = 0 とすると,
2a
2a
1
t 12
2a
t
t=1,
+
+
2
13
t-at+1=0の解は,1 <a より
......()
1
2a 2=0
2t-2a+
ta-at" + at-1=0 A
-t(t²-1)a+(t-1)=0
(t²-1)(t²+1-at)=0
(t+1)(t-1)(ピ°-at+1) = 0
^4>0 すなわちa>2のとき,
以上より, f(t) = 0 のt> 0 の解は,
1 <a≦2のとき, t=1
a>2のとき,
[α- 4 < 0, すなわち1<a<2のとき, 解なし
α-4=0, すなわちα =2のとき,
t=1
1
a±√a²-4
¹ ± √@²
t
O
y =
A(a. a)
P(t. 1)
a±√a²-4
2
B
A 4次方程式を解くには、因数定
理を用いてもよいが,ここでは,
まず」について整理すると簡単
に因数分解できる。
B a >2のとき､
a=√√a²>√a²-4
であるから,
2
>0
C
(3) (2)より,t> 0におけるf(t) の増減は次のようになる。
(ア) 1 <a≦2のとき
1<a<2ならば, at +1> 0
a=2ならば.
p-at+1=(-1) 2
よって増減表は次のようになる。
t
f' (t)
f(t)
(イ)a>2のとき
0
a-√a²-4
2
V
t
f' (t)
f(t)
1
よって, t=1のとき. ∫ (L) は最小値2 (4-1)をとる。
このとき, AP も最小値をとり, その値は,
√2 (a-1)
0
極小
2(a-1)²
***
...
+
CHECK 場合分けして増減表をかくことができたか
α
a+√a²-4
². B=
2
t°-at+1=(1-α) (t-β)
であり, 0<a< 1 <βであるから, 増減表は次のようになる。
D
0
1
0
極小
とおくと,
+
7
f(t) = 1² + 1/2 - 2a (t + ²) + +2a²
0
極大
=(1+11-2-20(t+1)+200
1
t-at+1=0のとき, t≠0であり, t+ =αであるから, E
t
B
0
極小
POINT
導関数に文字係数を含む
ときは場合分けをして増
減表をかく
=a²-2
よって, f(α)=f(B) = α²-2
したがって, t=α, βのとき, f(t) は最小値2をとる。
このとき, APも最小値をとり, その値は,
√a²-2
最小値√2(a-1)
a>2のとき,P(at - 4,
2
最小値 α-2
+
√a²-4
7
2
の値によりf(t)=0 の正の
解が変化することに注意する。
振り返り
OK f'(t)=0 を利用して極小値を求めることができたか
D 思考力
(ア), (イ)より, AP が最小になるような点Pの座標とAPの最小値は,
1 <a≦2のとき,P(1, 1)
a=ª-√a ²-4
の大小関
係を数式から判断するのは難し
い。 こんなときは,以下のよう
にグラフを利用する。
g(t)=t-at+1 とおくと、
a>2のとき.
plato-4tro-4) (号同順)
a+√a²-4
g(1)=2-a<0
であるから、
a<1<B
+g(t)
N
0
2-a---
E POINT 2
極値を求める計算が複雑
なときは,f'(t)=0 の
式を利用する
計算力
f(a), j(B) をそのまま計算
るのは大変だ。 ここでは、α.
が-at+1=0の解であ
1
とから、t+-=」を満た
とを利用して計算すると
求められる。
t
の変形も利用しよう。
解けない問題はきみのノビシロ。 解き直し