Question

しゅう

学年で十数人しか解けなかった問題です。
証明の仕方が分からないので証明してほしいです。

7 を2以上の自然数とする｡ π 2 3 ・・・・nπ,・・・・のそれぞれの小数部分は、 すべ
3,
9
,
て異なることを証明せよ。 ただし, πが無理数であることを用いてよい。 ここで, 実数 αの小数部
分とは,αを超えない最大の整数をbとするとき, a-bのことである。(記述)
(以上で問題は終わりです)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Yun

難しいですね。背理法でやってみましょう。
小数部分が同じやつが存在すると仮定して、iπとjπ(i<j i,j:自然数)とします。
jπ-iπ=a(a:自然数)となるから
(j-i)π=a
j-i≠0だからπ=a/(j-i)
分母、分子ともに整数だから右辺は有理数ですね。
しかし、問題文からπは無理数だから、ここで左右で矛盾が生じます。
よって元の仮定は誤りってことが示せました。

しゅう

なるほど、、、
これを学年で何人も解けたと考えるとゾッとします、
とてもわかりやすかったです。ありがとうございました😊