Question

みみ

複素数平面の分野なのですが、（2）が分からないので教えて頂きたいです。|α-1|=1は1を中心とする半径1の円ではないのですか？図6のような図になる理由とそこから図7の図をどのように書けば良いのか教えて頂きたいです。よろしくお願いします。

例ⅣV 複素数 α,βはα-1=1, |β-i|=1を満たす.
(1) α + β が存在する範囲を複素数平面上に図示せよ。
(2)(α-1)(β-1) が存在する範囲を複素数平面上に図示せよ.
〔一橋大〕
《解答》(1)αは点1を中心とする半径1の円周上を動く.βは点を中
心とする半径1の円周上を動く (図1). そこで|z|=|w|=1 を満たしなが
ら動く複素数 z, w を導入すると, α = 1+z, β = i +w と表現できる.
よって,
x=(98)
a +β = 1 + i +z+w
となる.また, z+w は z を固定すると を中心とする半径1の円周上を
動く (図2).さらに, z を動かすと, 原点を中心とする半径1の円周上を中
心が動いたときの半径1の円周の通過領域を動くことになる.つまりz+w
は原点を中心とする半径20円の周および内部 (円盤) を動く (図3).

図1
w
a
N
図2
0
N
z+w
z+w
D
この円盤を1+iだけ平行移動したものがα+
βの存在する範囲で,中心 1+i, 半径2の円
盤 円の周とその内部) だから、図4の斜線部
のようになる (|Z-1-i|≦2).
1+i
図3
図 4
(2) β-1が描く図形はβが描く円を実軸方向に −1だけ平行移動したも
のである(図5). また, z = α-1は絶対値が1で偏角は任意だから,こ
れをかけることにより原点を中心に任意の角度で回転させることになる
(図6) 以上のことから (α-1)(B-1)=z(β-1) は図7の斜線部を動く
(8)
(√2-1≦|Z|≦√2 + 1).
β-1
図5
x
図6
YA
3√2+1
V2-
O
AX
図7