Question

みみ

集合と命題の分野なのですが、（1）について教えて頂きたいです。p^2とq^2の最大公約数がq^2とわかったのはなぜですか...？教えて頂きたいです。

EX
49
を1以上の整数とするとき, 次の問いに答えよ。)合
(1)√n が有理数ならば,n は整数であることを示せ。
(2)√√n+1がともに有理数であるようなnは存在しないことを示せ。
(3) n+1-nは無理数であることを示せ。
[富山大〕
<ポイント>
(1)√n が有理数であるとすると
有理数は分散におきかえ
✓n=P(p, gは互いに素である正の整数)
①
←
0 であるから,
p
と表される。
このとき,g=1であることを示す。
く「正の整数」としてい
る。
q は 「整数」ではな
小さい方の数を取る
とす
する。
①から,ng=pであり,この両辺を2乗すると
nq² = p²
②
pgは互いに素であるから, かと Q2 も互いに素である。
②から、かと2の最大公約数は Q2 である。
よって,と q'が互いに素であることから
g2=1 すなわち g=1
ゆえに、①からn=pであり√n は整数である。
以上から、nが有理数ならば, n は整数である。
いう意味
← ng² と q2 の最大公約
数 である。
←n=pからは
正の整数である。

数学Ⅰ 59
前の問題も利用可能ということを
忘れずに!!
(2)√√n+1 がともに有理数であると仮定する。
このとき (1) から, n, n+1 はともに正の整数である。
√n=k, vn+1=l (k, lは正の整数) とおくと
n=k2
......
③④に代入すると
よって
l-k2=1
③, n+1=12
- k2+1=12
すなわち
4④
(
(l+k) (l-k)=1
D
bl-=s+(16
l+k, l-k は整数であり, i+k0 であるから
l+k=1,l-k=1
これを解くと k=0,l=1
これはkが正の整数であることに矛盾する。
(
(1+0)\
08+0-1-1---()
したがって,n と √n+1 がともに有理数であるようなnは
存在しない。
2+
たしさんと
<引き算の形にする。
(3)√n+1-√nが有理数であると仮定する。
n+1-√n=r(rは有理数)とおくと,0であり
1
1
√n+I+√n
(√n+1-√n)(√n+1+√n)
√n +1-√n (√ n + 1 − √ n ) ( √ n+1+√√n)
=√n+1+√n
vn+1-√n=r,n+1+√n=
√n+1−√n=r, √n+1+√n = 145
r
√n+1
1/2(21-11-1/2/(1+1/2)
(S-
0>
から
n=
=
r+
数。
r
r
は有理数であるから,nn+1はともに有理数である」
これは(2)の結果に矛盾する。
よって,n+1 -n は無理数である。
(1)
←例えば, n=3のとき,
=√3(無理数)
√n+1=√4=2
である。
(有理数)
←√n+1=r+√n.
√n=√n+1-r をそれ
ぞれ2乗することで
√n = (r),
√n+1=(rの式)
を導いてもよい。
28
(1)
2章
EX
[集合と命題]

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

さい先生

2乗はひとまず置いておいて、
一般にna=b(n,a,bは自然数)であるとき、aとbの最大公約数は、aになります。
「なぜ？」の答えになっていませんが。。
たとえば、
3✖︎12=36において、12と36の最大公約数は12ですよね？