Question

ひかる

進研模試過去問の大問3、因数分解の問題です。(2)の因数分解してX出すところまではわかったのですが、そのあとの場合分けが解説を見ても分からなかったので教えて欲しいです。お願いします。

3 2つの2次関数f(x)=2x²+2kx+k, g(x)=x-x-k+k がある。 ただし, kは定数
とする。
(1) y=f(x)のグラフの頂点の座標をkを用いて表せ。
(2) 2次不等式g(x)<0 を解け
(3) <1/23 とする。 g(x)<0 を満たすxの範囲において, y=f(x)のグラフがx軸と異な
る2点で交わるようなんの値の範囲を求めよ。
(配点20)

]
20
(日)
(8
C
解答
(1)
(2)
f(x)=2x+2kx+k
= 2(x + 1)² - 1²/² + k
よって, y=f(x)のグラフの頂点の座標は
(- 12/²₁ - 12/² + R)
完答への A f(x) を平方完成することができた。
「道のり」
答えを求めることができた。
g(x)=xxk th
=x-g-k(k-1)
=(x-k) (x+h-1)
g(x)=0 とするとx=h, k+1
(i) <-k+1 すなわち たく 1/2のとき
g(x)<0の解は<x<-k+1
(3)
=-k+1 すなわち k=1/2のとき
(x)=(x-2121220であるから,g(x)<0 の解はない。
>k+1 すなわち1/23のとき
(x)<0 の解は -k+1<x<h
答への
道のり
圏
(-1/2, - 12/²+k)
</1/2のとき
k=1/2のとき
4/1/2のとき
<x<-k+1
解なし
+1<x<k
4f(x)=2(x²+kx)+k
= 2{x² + kx + ( ²2 ) ² − ( ²2 ) ²} + k
=2(x+4)-2 (金)*+*
+h
2次関数y=a(x-p)^2+q のグ
ラフの頂点は,点(p,q)である。
まず, g(x) を因数分解する。
んと k+1の大小で場合分けを
する。
α <β のとき 2次不等式
(x-α)(x-β) <0の解は
a<x<B
< (ii)の場合を忘れないこと。
(x) を因数分解することができた。
⑩ ⑩ ⑩ おとーん+1の大小関係から3つの場合に分けて考えることができた。
CG それぞれの場合において、不等式を解くことができた。

8
4 = x² - x −k² + k
2
= x² - K² - x +k
(x₁+k) (x+)-1(x-k) 2100 500
k
(x-k) (x+k-1) <0
x=k, -k+l
-kt!

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

綾野穂香

なぜ場合分けする必要があるのかという質問でしょうか。

-k+1 が k より大きいとは限らないことに注意する必要があります。極端な例では、k=100 のとき -k+1 の方が小さいです。一方、例えば k=-100 のとき -k+1 の方が大きいです。そのため、k と -k+1 の大小で場合分けしないと、「α<βのとき(x-α)(x-β)<0の解はα<x<β」は使えません。あなたの描いたグラフでは -k+1 が k より大きい場合しか考慮されていません。場合分けしたあとは、大小関係を利用して模範解答のように、それぞれ解を求めます。

ひかる

納得です。丁寧にありがとうございます!!
すみません、できれば解説の2分の1がどこから来たものなのかも教えて欲しいです。お願いします。

綾野穂香

kに関する(不)等式で 1/2 が出てくるのは、場合分けの条件を整理しているからです。例えば -k+1 が k より大きい場合は、k < -k+1 の右辺の -k を左辺に移項し、両辺を 2 で割ることで k < 1/2 が得られます。他の場合分け条件も同様です。k = -k+1 において g(x)=(x-1/2)^2 となるのは、g(x) を因数分解した式に k = 1/2 を代入して整理しているからです。

ひかる

ありがとうございました!!
助かりました!!