Question

ℎ

何故正の約数の個数が奇数個のM^2(自然数)の正の約数を小さいものから順に並べたとき真ん中にくる約数はMになるんですか？

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ぺんぎん

＿今、約数を考える対象となる数値を X として、その素因数を a，b，c，…とすると、
　X = a^l ✕ b^m ✕ c^n …
で表わせます。
＿この時の約数の個数は、素因数の0乗は1なので、それぞれの素因数を0〜l個、0〜m個、0〜n個、…掛ける組み合わせなので、(l+1)✕(m+1)✕(n+1)…[個]に成ります。
＿一回でも偶数が掛けられると偶数に成りますので、約数の個数が奇数であれば、(l+1)，(m+1)，(n+1)，…は、全て奇数。
＿従って、l，m，n，…は、全て偶数となり、2乗の形に表す事が可能と成ります。中央値(メジアン)を考えると、X=M² で表す時の M と成ります。

ℎ

めちゃくちゃわかりやすくありがとうございました😭💖

ぺんぎん

＿まだ、証明としては、説明を省略している部分があり、不完全な所があるのですが、分かって貰えてありがたいです。
＿証明として、完全にすると、非常に面倒くさいことになりそうだったので、どうにか、簡単に証明出来ないかな、と悩んでいました。その部分は、バッサリ切り捨てました。

Answer 2

ほっとけーき。

正の約数の個数が奇数であるためには、その数が平方数である必要があります。M^2も平方数であるため、M^2の正の約数の中で正確に約数の数が奇数個あるのはMだけです。他の約数は必ずMとペアを成すため、約数を小さいものから順に並べたときにMが真ん中にくることになります。

ℎ

わざわざ丁寧にありがとうございました😭💖お陰で理解できました！