数学
高校生

判別式 D<0のときに共有点を持たないのはなぜですか?

回答

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回答

p, qがax²+bx+c=0の解
⇔f(x)= ax²+bx+cとしたとき、f(p)=0 & f(q)=0
⇔fのグラフとy=0 (x軸)の交点のx座標はp, q

です。

二次方程式ax²+bx+c=0が解を持たない
⇔ f(x)= ax²+bx+cとしたとき、f(r)=0となるrは存在しない
⇔ fのグラフとy=0 (x軸)は交わらない

です。

(1)a>0のとき

fのグラフとy=0 (x軸)は交わらない
⇔fの最小値>0

です。

fの最小値を求めるためにfを平方完成すると判別式が出てきて、

fの最小値>0⇔判別式<0

となるので、結局

二次方程式ax²+bx+c=0が解を持たない
⇔ f(x)= ax²+bx+cとしたとき、f(r)=0となるrは存在しない
⇔ fのグラフとy=0 (x軸)は交わらない
⇔fの最小値>0
⇔判別式<0

となるからです。

(2) a<0のとき

fのグラフとy=0 (x軸)は交わらない
⇔fの最大値<0

です。同じようにやってけば同じ結果になります。

ちなみに、二次方程式の解の公式は

ax²+bx+cを平方完成したもの=0

を解いたものです。(2枚目の画像)

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