Question

シチューデント

授業中にとったノートですが、見直しても意味がよく分かりません(><)
①どうして場合分けをするのか
②どうしてｎ＝2となるのか(クエスチョンマークをつけている箇所)
③どうして逆を言わないといけないのか
バカなので丁寧に解説してくださると助かります。よろしくお願いします🙇‍♂️

例題6| 導関数を含む等式
zの整式で表される関数f(x) が, 等式 2f'(z)- (2.r-1)f(r)=1 を満たすと
する。次の問いに答えよ。ただし, f(z) は定数関数ではないとする。
(1) f(z)の次数を求めよ。
(2) f(x) を求めよ。
(指針)(1) f(x)の最高次の項をar" (aキ0) として, nの値を定める。
解答] (1) f(z) の次数を n (n>1) とし, その最高次の項を az" (aキ0) とすると,
等式の左辺の見かけの最高次の項は
.anz"-1-2.r.ar"
すなわち
(n-2)az"+1
等式の右辺は1であるから
n-2=0
よって,n=2 となるから,f(z) の次数は2 答
(2) f(z)は2次関数であるから, f(x)=ar°+br+c(aキ0) とおける。
f'(x)=2ar+bであるから, 与えられた等式は次のようになる。
°(2ar+6)-(2.r-1)(ar°+bx+c)=1
(a-b)z?+(b-2c).r+(c-1)=0
整理すると
これがェの恒等式になればよいから
a-b=0, b-2c=0, c-1=0
ゆえに
a=2, b=2, c=1
(これは,aキ0 を満たす)
したがって
f(x)=2r°+2.c+1 答
*82 xの整式で表される関数f(x) が次の条件を満たすとする。このとき, f(x)
を求めよ。
(2.r+1)f(z)-4f (z)=D-3, f(-1)=1

82(2x1)()-45a)--3
J)をれまむと定める
(221)f2)-78(2)=ー3
る
n
D or消

n-0のとせ f)-d Cd:定敷)とおく
このとき
(2x)+0
4d--3
2)=
これは J-1) -1をたさるい
これ40
)れz1のときの最項次の確とax Ca#0)とみく
このとき万らっ最ó吹は
4027 = 2aln-2)と^
れー1
22xanz"
るここで右迎は一3なので ハ=2 となる必要かがある.
壁にこのとも 十)- aズ+ bスtC として
1221)20xt6)-4(02-bx1C)テー3
Cこー3
(20-26)2+bー4c=-3
29恒等ポり
(20-2bェ0
Ja:1
b-4C=-3
1
とこう
JC121)
A-brcal t)- z'tx1}

微分 導関数

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

桃

まず問題文を見たときにf(x)とだけ与えられていてかなり抽象的だなぁと思って下さい。
実は、抽象的なもの→具体的に置いてみる
という考え方が有効なことがあります。

そこで関数f(x)を具体的においてみたいわけです。
例えば、f(x)=ax+bみたいに。
でもこれを置こうとるとxの最高次数を知る必要があります。つまり、x^2なのかx^3なのか、はたまたx^4なのか。そこでそれを知るためにx^nと置くことから始まります。が、ここで落とし穴があります。そもそもf(x)にｘの項が出てこない場合は定数項ですので別に考える必要がありますね♪
これがつまりn=0での場合分けの意味です。

f(x)を微分した上で、問題の式に当てはめ最高次数だけを考えると、

2a(n-2)x^n　
となりますが、左辺の最高次の項は−３です。つまりx^nの項が出てこない
→2a(n-2)=０とならねばなりません。故にn=2です。

最後ですが逆の確認はしてるようには思えませんが、、、？？？