Question

すろー

x=0で微分可能と書いてあるのですが、この場合はxがどの値でも微分可能だけど、計算しやすいからx=0で計算してるんですか？

重要 例題211 導関数から関数決定(2)
2
O000
微分可能な関数f(x) がf(x)=le*ー1| を満たし, f(1) =eであるとき、
求めよ。
y
指針>条件f(x)=le*-1|から, f(x)=}le*-1|dx とすることはできた
Sい。まず, O 絶対値 場合に分ける から
x>0のとき f(x)=e*-1
x<0のとき f(x)=-(e*-1)=-e*+1
x>0のときは, ④と条件f(1)=eからf(x) が決まる。しかし、
*く0のときは,条件(1)=eが利用できない。
A
0
そこで,関数f(x) は x=0 で微分可能 →x=0 で連続(p.242基本事項山のに
lim f(x)= lim f(x)=f(0) を利用して,f(x)を求める。 …
x→-0
x→+0
解答
導関数f(x) はその定
ら,xを含む開区間でっ。
したがって,x>0, x<n)
区間で場合分けして考え。
えくotなのに
f(x)=e*-1
x>0のとき, e*_1>0 であるから
よって
f(x)=\(e*-1)dx=e*ーx+C (Cは積分定数)
f(1)=eであるから
e=e-1+C
したがって f(x)=e*-x+1
f(x)=-e*+1
の
ゆえに
C=1
x<0のとき, e*ー1<0であるから
たからつかうはし
名OF
よって ー d
=-e*+x+D (Dは積分定数)
f(x) はx=0 で微分可能であるから, x=0 で連続である。
lim f(x)= lim f(x)=f(0)
f(x)は微分可能な関数。
久 とこでとか
きかんけい
ゆえに
x→+0
X→-0
①から
lim f(x)= lim (e*-x+1)=2
Y→+0
x→+0
2から
lim f(x)= lim(e*+x+D)=-1+D
X→-0
x→-0
2=-1+D=f(0)
f(x)=-e*+x+3
よって
ゆえに
D=3
したがって
必要条件。
このとき, lim
ex-1
=1から
「逆の確認。か.257 も参照。
x→0
x
f(h)-f(0)
eh-h-1
-=0,
h
lim
lim
h→+0
ん
h
h→+0
h→+0
f(h)-f(0)
ーeh+h+1
=0
をする
lim
lim
(lim
h→-0l
h→-0
h
よって,f(0) が存在し, f(x) は x=0 で微分可能である。 0 0
(x20)
h→-0
以上から
f(x)=
e*-x+1
1-e+x+3 (<0)
mle
練習
211
;くxくとする。 f(x)=ltan?r=1lf0=0であるとき,

Answer 1

tra7345

ちがいます。

この関数は
ｘ＝０を境に
関数の式が変わるため
この境のところで微分可能、連続であることが重要なのです。