Question

Kei

質問です！大問103のように置換（x−１＝tと置くと…みたいな）しないといけない問題と普通に置換しなくてもできる問題の２種類があるんですけど、置換する場合の見分け方ってありますか？

第2章
極限
第2章 極限
三角関数と極限
1 関数の極限と大小関係
limf(x) = α, limg(x) =β とする。
1
x-a
xがαに近いとき、常に f(x)≦g(x) ならば α≦β
2 xがαに近いとき,常に f(x)≦h(x)≦g(x) かつα=B ならば limh(x)=α
注意 上の事柄は,x→∞, x→∞の場合にも成り立つ。
注意2を「はさみうちの原理」 ということがある。
3 limf(x) =∞ のとき,十分大きいxで常に f(x)≦g(x) ならば limg(x) =∞
|2 三角関数と極限
lim
x0
sinx
=1,
x
lim -1 (角の単位はラジアン)
x-0 sinx
STEPA
■次の極限を求めよ。 [ 104, 105]
□ 104(1) lim
1-cos 3x
x→0
x2
1
*105 (1) limxcos
x
0+x
第2節 関数の極限
31 0
x01−cosx
sinx2
(2) lim-
1+sinx
(2) lim
x
例題 7 中心が0, 直径ABが4の半円の弧の中点をMとし,Aから出た光線
が弧 MB上の点Pで反射して, AB上の点Qにくるとする。
(1) 0=∠PAB とするとき, OQの長さを0で表せ。
(2)PがBに限りなく近づくとき, Qはどんな点に近づいていくか。
|指針 Aから出た光線が弧 MB上の点Pで反射して, AB上の点Qにくるとき
∠OPA = ∠OPQ
求めるものを式で表し,
解答 (1) 右の図において
sin 0
0
などの極限に帰着させる。
∠OPQ= ∠OPA=∠OAP=0
∠PQB= ∠PAQ+ ∠APQ=30
2
*(2) lim
(3) lim
x
tanx
x–0 sinx
よって ∠OQP=30
△OPQに正弦定理を用いると, OP=2 であるから
✓ 99 次の極限を調べよ。
(1) lim cos-
■次の極限を求めよ。 [ 100~103]
100 (1) lim-
x0
OQ
2
sin
sin(л-30)
2sin0
また, sin (π-30)=sin30 であるから
0Q=-
sin 30
M
30
Q B
(2)PがBに限りなく近づくとき, 0 +0 である。このとき
sin2x
x0 1−cosx
2sin0
2 sinė 30 2
lim OQ= lim
-= lim
0 +0
e+o sin30 -+0 3 0 sin 30 3
よって,Qは線分 OB上のOからの距離にある点に近づいていく。圏
□ 106 半径αの円の周上に動点Pと定点Aがある。 Aにおける接線上に
AQ=AP であるような点Qを直線OAに関してPと同じ側にとる。PがA
sin4x
xC
sin2x
*(2) lim
x-o sin5x
(3) lim
x-0 tant
sin3x
tan2x-sinx
□ 101 (1) lim-
*(2) lim
x→0
x
1-cos 2x
x-0 xsinx
(3) lim
x→0
sin3x+sinx
sin2x
□102"(1) lim
COS X
sin2x
(2) lim-
(3) lim
x皿
4 に限りなく近づくとき,
PQ
の極限値を求めよ。 ただし, AP は ∠AOP
AP
(0∠AOP</V)に対する弧AP の長さを表す。
ax+b
1
1
2x
107 等式 lim
が成り立つように, 定数 α, bの値を定めよ。
COS X
2
103*(1) lim
tan x°
x0 x
*(4) lim
sin x
x1 x-1
1−cosx
t- sinx
STEPB
*(2) lim
X-1
sin(x-x)
x一π
(5) lim
x→0 sinx
sin(sinx)
(3) limx-
lim (x-4)tan.x
x-
xn
(6) limxsin
X8

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

フラッグ

置換が、いつ必要でいつ不要か？一般論を述べるのは困難であり、だいいち抽象的です。その代わりといってはなんですが、私がこれらの問題(三角関数と極限)に対し…多少の偏見はご容赦ください…感想というか、基準をアルファベットで表示してみます。
(A)置換する要素ゼロの問題
(B)置換しても解けるが、置換なしで解きたい問題
(C)素直に置換した方がいいと思われる問題
(D)「挟み撃ちの原理」で解く問題
…ということにすると、…
103
(1)A (2)B (3)C (4)C (5)B (6)C
といったところでしょうか。
ただし(6)は要注意です。t=1/2xとおくと、
x→♾️のときt→+0です。これをうっかり
x→♾️のとき t→0などと書くと、
甘くて減点、厳しいと0点です。
長々と話しましたが、ご参考になれば幸いです。
…おまけ…
104
(1)B (2)B
105
(1)D (2)D
質問等は遠慮なくどうぞ。

Kei

教えてくれてありがとうございます🙇質問なんですが、置換する場合というのは、（limの下の部分）x→０みたいに、0にした方が計算しやすいから置換するんですか？もしそういう考え方なら大問102の（１）って置換しなくていいんですか？あと大問103の（5）ってlimがもうx→0になってて、これって置換しないといけないんですか？

フラッグ

問題を幾つか解説してみました。返信が遅くなってごめんなさい🙇‍♀️

Kei

なるほど、置換しない方がやりやすいってことですね（置換しない場合のもの）。理解しました！教えてくれてありがとうございます😭