2枚目の文章の意図としてはrunning 単体として名詞になってるかという意味で使っています。
the running dogsでのrunning は無くても名詞句として文章が成り立つので動名詞としては考えられないっていう意図があります。
ただ疑問を抱くのも仕方ないです。
例えばsleeping bagsだと 寝袋を意味してsleeping は便宜上動名詞で 二つの名詞を並べて合成名詞を作っています。
このような事があるので実際の分類としては経験的に分類しているか、意味がしっくりくる方でとると言った感じになるので
慣れるまではingがきたら現在分詞なのが動名詞なのか両方の可能性を考慮して検討する必要があると思います。
The running dogsは確かに名詞の塊ですが
本当の主語はdogsですよね?
Dogs are running というのがdogs と running の関係のはずです。
したがってrunning は現在分詞の形容詞的用法になります。