[①]
基本例題40 円の接線のベクトル方程式
00000
(1) 中心C(c), 半径rの円C上の点P (po) における円の接線のベクトル方程式
は (oc)・(B-c="であることを示せ。
(2) 円x2+y2=2(x>0)上の点 (xo,yo) における接線の方程式は
xox+yoy=re
であることを, ベクトルを用いて証明せよ。
指針 (1) 円Cの接線ℓ は、 接点 Po を通り, 半径 CP に垂直
すなわち, CP は接線l の法線ベクトルである。このことから直線lのベクトル方程式
①), 与えられた形に式を変形する。
を求め(･
(2) 中心が原点O(0),半径が の円上の点P(Do) における接線のベクトル方程式は,
(1)において=0 とおくと得られる。それを成分で表す。
CHART 円の接線 半径 接線に注目
解答
(1) 中心C, 半径rの円の接線上に
点P(n) があることは,
CPPPまたは PP=0が成り
立つことと同値である。
よって,接線のベクトル方程式は
CP.(6-5)=0
CP=こであるから
Po-c). {p-c)-F-C)}=0
したがって
(Po-c).(p-c)-po-cl²=0
Do-CP2=2 であるから
Popo)
P(p)
......
C(C)
1+99
Po-C). B-C)=r²...... (1)
(p—c)=r²
(2) 中心が原点O(0), 半径rの円上の点Po (po) における接線
のベクトル方程式は、 ① において, c=0 とおくと得られる
から
Po• p=r²
Do = (xo,yo), p= (x,y) とおくと
これを②に代入して, 接線の方程式は
xox+yoy=x2
基本34
pop=xox+yoy
点A(a) を通り, ベクトル
に垂直な直線のベクトル
方程式は
n·(p-a)=0
[検討]
(1) 2PCP₁=0
44
(0°90°) とおくと
(Po-c).(p-c)
=CP•CP
=CPXCPcoso
=rXr=r²
/PP CP であるから
\CP cos0=CP=r
