Question

ドーナツ

（４）の解き方が分かりません。

3問 (全学部

」辺の長きが6 の正四面体 ABCD がある。辺AB店還請有ま
jkを F 辺ADを1:2に内分する舟をGとする。        の

6

 

 

 

() 2ABG の値は. [47148 ]である。

 

 

 

⑳ EFとFG の長さは,

eu

次の問いに答えょ

49 < |である。

 

 

 

 

(3) ^EFG の面積は,

50し |である。

 

 

(6 ) 四面体 AEFG の体積は,
マン

 

51 ろ

 

 

 

である。

長をE. 辺ACの

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ALF

正四面体なので、底面積の大きさは算出可能。
次に高さですが、点Aから、面BCDに対して垂線を下した交点を点Hとし、AHを高さとして求めます。
今、ABCDは正四面体なので、点Hは、正三角形BCDの重心の位置にあるので、BH=CH=DH（この長さを求める）
BHの長さが分かったならば、三角形ABHで考えるとこれは直角三角形になっています。
従って、三平方の定理を適用すると、AHの長さがわかります。
すると、三角錐の体積＝底面積×高さ÷３で体積がでます。

わかりにくい点があれば、ご指摘ください。

ドーナツ

その求め方だと、正四面体ABCDの体積を求めることになりますよね？
四面体AEFGはどうやって求めればいいのですか？

ALF

すみません。問題を読み違えていました。
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正四面体から引き続きAEFGの体積を求めます。

四面体ABCDと四面体ACDEの体積の比を考えます。
すると、ABCD：ACDE＝AB：AE=3:1 になるのが分かりますか？

面ABDを底面と見たとき、
各四面体の高さの比は、底面からCまでの距離で共通。
各四面体の底面積の比はABD：AED＝AB:AD
従って、ACDE=1/3ABCD -①

同様に、ACDE と ACEG で考えます。
高さの比はCまでの距離なので共通。
底面積の比は、ADE：AEG = AD：AG = 1:3
従って、ACDE：ACEG = AD:AG　→　ACFG = 1/3ACDE -②

さらに同様にACFG と AEFG を考えます。
底面積は、AEG で共通。
高さの比は、Cまでの距離とFまでの距離なので、2:1
従って、ACFG：AEFG = AEFG = 1/2ACFG -③

①②③を使って順に適用すると
AEFG = 1/2・1/3・1/3・ABCD になります。

つまり、元の体積に各辺の比で小さくなったものを掛けていくと、求める体積になるということです。