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不定方程式の形を作り示します。
選択肢⓪において3gをx個 14gをy個用いるとします。ここで、必ず釣り合うと仮定します。すると3gの重りと14gの重りの差が7gになるということを意味します。
どちらが7g重くなっても構わないので絶対値を使って
|3x-14y|=7
3x-14y=±7
ということになります。これを満たす整数解は例えばx=7 y=1で存在するので釣り合うという仮定は正しい。
同様に①も成り立つとして立式すると
3x-21y=±7
3(x-7y)=±7
3と7は互いに素なので、3にどんな整数をかけても7にはならない。よってこれを満たす整数解はなく、釣り合うことは無い
②
8x-14y=±7
2(x-7y)=±7
2と7は互いに素 満たす整数はなし。
③
8x-21y=±7
x=9 y=5で満たす整数解がある。
よって① ②
前回の質問に続いて今回もとても分かりやすい解説ありがとうございました😊
問題文のどちらに何個でも置いていいとあって混乱したのですが、差が±7とおけば表すことができるんですね！本当にありがとうございました！
ちなみにこの式は重り同士を同じ皿に使うことを考慮していませんが、仮に重りはそれぞれ混ぜずに使っても釣り合う瞬間があるということを示せているので、問題はありません。より狭い条件でも釣り合うことが確認できれば題意は満たされるのです。
そもそもこの問題は一次不定方程式の整数解がないことを示す問題だとわかるので、選択肢の重りの重さが互いに素でない①と②が一瞬で✕とでき、マーク問題なので上記で示した計算をする意味はありません。