久しぶりに楽しそうな質問に出会えましたので。
時間に余裕のあるときに回答させてもらいますね
xの変化量 分の yの変化量 が2点を結ぶ直線の傾き、つまり平均の変化量、というのが分かっている前提で話します。
まず、導関数は何なのか。1枚目の画像を見てください。xと、x+hという2点を取り、そこを結ぶ直線がありますね。この直線の傾きは、xからx+hまでの平均の変化量です。でも、黄色い矢印があるとおり、一瞬においては正確な変化量じゃなさそうですね……そこで、この黄色い矢印を小さくしていくために、hをどんどん小さくしていきましょう！左下のところで、もうだいぶ矢印が小さくなって、正確な一瞬あたりの変化量が出せているのですが、hをxの「極限までお隣さん」にしてみます。これが右下のやつです。ほとんどxとx+hは一致していますが、お隣さんなので、この２つの点は直線で結べます。(１つの点だったら直線は一本に決まりません！)でも、遠くからみたらほとんど１つの点に見えますよね。そこで、「この直線は一点を通っている」こととするんです。曲線上のある一点を通る直線。さらに言えば、曲線上のある一点で曲線に接している直線。それは、曲線の接線ですね！
そして、この接線の傾きを関数にしたものを導関数、接線の傾きを求める、導関数を求めることを微分するといいます。
2枚目は1枚目をまとめたやつです。
そして、なぜ導関数を求めるのか。
結論から言うと、「どんな関数なのかわかるから」です。3枚目の左上は、ほぼ等間隔に点をとったもの、右上はその点を結んだものです。その直線の交点をなめらかに結んでいくと、下のような赤い曲線が浮かび上がってきます。直線しか書いていないのに、曲線が出てきました！……これがやりたいのです。
さまざまなxのときの接線の傾きを求めて、その接線をたーくさん書くことで、もとの関数がどんな形だったのか考え、導くことができる。
導関数は、関数を「導く」ための関数なんですよ。
なぜ導関数を求めないといけないのか。
単純なお勉強の観点からいくと、三次以上の関数は形が複雑で、導関数を求めないとグラフがうまく描けないから。他にあるのか考えても思いつきませんね……
ただ、導関数って生活に深く関わっています。
導関数の便利なところは、未来を予測できるところ。
もとの関数の傾きの関数だから、もとの関数がどんな動きをするのか、分かるんです。
例えば、部屋を暖めているとき。温度の関数があって、その導関数を求める。そうすると、温度が上がりすぎる前に、「このままいくとすごく暖まっちゃいそうだからすこしパワーを抑えようかな」と機械が考えてくれて、ちょうどいいところに保てます。
今のは暖房器具の例ですが、他にも様々な電化製品に使われているんですよ！
PID制御っていいます。このDは微分の頭文字なんです。
この辺は微分方程式っていって大学の話になっちゃうんで私もそこまで詳しくは分かりませんが……
まあ微分方程式で私たちの生活が支えられているのは確かですね！
意味について説明させてもらうとこんなところでしょうか？もし疑問に思うところとかあれば言ってくださいね
お願いします。