√内に+2があるから対数はとっても無意味。
n=1のとき、2≧a1=0≧0
n=kのとき、2≧ak≧0が成り立つとすると、4≧ak+2≧2 2≧√(ak+2)≧√2
ゆえにa(k+1)≧√2
よって全ての自然数nで2≧an≧0が成り立つ。
a(n+1)とanの大小関係 2≧an≧0より 二乗を比較すればよい。
{a(n+1)}²-(an)²=an+2-(an)²=-(an-2)(an+1)
an-2≦0 an+1≧0より -(an-2)(an+1)≧0
ゆえに{a(n+1)}²≧(an)²
したがって a(n+1)≧an より anは単調増加
2≧an≧0より極限値が存在するから α=lim(an)、漸化式の両辺でn→∞とすると
lim a(n+1)=lim√(an+2)
左辺→α、右辺→√(α+2)だから、 α=√(α+2)これを解いて α=2
ゆえにliman=2
