Question

富士川天

この問題の解説ください

い
ACL
鋭角三角形ABC がある. 頂点Aから辺 BC に下ろした垂線の足をHと
し,さらにHから辺 AB, AC に下ろした垂線の足をそれぞれP, Q とす
る.
(1) A, P, H, Qは同一円周上にあることを示せ.
(2) P, B, C, Q は同一円周上にあることを示せ.

図形の性質

Answer 1

GDO

「四角形の向かい合う角の和が180°のとき、この四角形は円に内接している」を用います。
これは証明不要です（これを証明せよという問題ではない）。

（１）四角形APHQにおいて、∠P、∠Q（∠APH、∠AQH）は90°
向かい合う角の和が180°なので、四角形APHQは円に内接するため
A,P,H,Qは同一円周上にある。

（２）円に内接する四角形APHQにおいて対角線を引くと、
∠PAH(∠BAH)＝∠PQH(円周角の定理)…①
△ABHにおいて、∠ABH(∠PBH)+∠BAH(∠PAH)=90°…②
①②から、∠ABH+∠BAH→∠PBH+∠PQH=90°

∠PBH+∠PQH+∠HQC(90°)=180°(∠PQH+∠HQC=∠PQC)
∠PBH+∠PQC=180°(四角形ABCQの向かい合う角が180°)
向かい合う角の和が180°なので、四角形PBCQは円に内接するため
P,B,C,Qは同一円周上にある。