Question

イェケリマイザー

⑴は解けましたが、⑴を利用して⑵を解くということなのですが、やり方がわかりません。
写真2枚目が解説です。これをみても理解できないので教えてください。

3 変数への
拡張
29 |a|<1, |6|<1, |c|<1 のとき, 次の不等式を証明せよ。
(1) ab+1>a +6
ポイント
(2) abc+2>a+b+c
(2)は,(1)を3文字の場合に拡張した不等式。
本問では,(1)を利用して, (2) を導くことができる。

29 (1) ab+1-(a+b)=(6-1)a-(6-1)
=(a-1)(6-1)
|a|<1, |6|<1から a-1<0, b-1<0
+
よって
(a−1)(6−1)>0
すなわち
ab+1-(a+b)>0
したがって ab + 1 >a + b
(2)|a|<1,|6|<1から
|ab|<1
また |c|<1
すなわち
abc +1 > ab+c
よって, (1) から abc + 1 > ab+c
|a|<1, |6|<1 から, (1) により
①,②の辺々を加えて
ab+1> a + b
..
abc+ab+2> ab + a + b+c
②
土
①
したがって
abc+2> a+b+c

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

ab+1>a+bより
→　ab+1+c>a+b+c　…①
(これで証明する不等式の右辺が出てきました)

条件より、|ab|<1かつ|c|<1であるから
(ab)・c+1>(ab)+cが成り立つ
→　abc+1>ab+c
→　abc+2>ab+1+c・・②
(これで証明する不等式の左辺が出てきました)

①②より、abc+2>a+b+c

イェケリマイザー

返信ありがとうございます！
ピンクラインのところで、なぜ両辺に違うことをしているのに、不等号がそのままだといいきれるのですか？？

きらうる

(1)では|a|＜1、|b|＜1のとき、ab+1＞a+bが成立していましたね。
これを記号で表しておくと、
|○|<1かつ|△|<1のとき、○△+1>○+△
こんな風になります。
この○にab、△にcを入れてみてください。
そうするとマーカーの所が成り立つことが言えます。

イェケリマイザー

そういうことでしたか！わかりやすくabをカッコで括ってくださってたのに、まったく気づきませんでした😫ありがとうございます😭