Question

星光

次の様な問題で青線のところから答えのところまでの流れが苦手なのですが何かコツはあるのでしょうか？

習問題 120
次の和 S,Tをそれぞれ計算せよ.
(1)S=1•2'+3・22+5・2°+... + (2n-1)・2"
(2)T=1・2'+2・2°+3・2+…+n・22n-1

120
(1) S=12+3.2²+5·23+...
+(2n-1).2"
2S 1.22+3·23+...
+(2n-3) 2"+(2n−1)•2"+1
. S-2S
.
=2+2•2²+...+2.2"-(2n-1)•2n2+1
=2(2+1-1)-4-(2n-1). 2+1
=-6-(2n-3).2"+1
S=(2n-3) 2”+1+6
(2) T=12+2·23+3.25 +...+n•22n−1
22T=1.23+2·25+...
+(n-1) 22n-1+n • 22n+1
T-22T
=21+23+25+...+22n-1-n•22n+1
2(1-4")
=
•n•22n+1
1-4
---3-3-3-(2-1/1/1/1) - 2 +1
2
n
n
T=²² + (1/2-1)-2²+1
3

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

あ

青線の式を等比数列の和の部分とそうでない部分に分けてから考えると解きやすくなります。

(1)を例に挙げて考えてみます。
青線=(2・2²+…+2・2^n)+2-(2n-1)・2^(n+1)
ここで括弧内の数列の和は
2・2¹+2・2²+…+2・2^nであれば求めることが出来るため、
(2・2²+…+2・2^n)=(2・2¹+2・2²+…+2・2^n)-2・2¹とします。
これはΣ(k=1→n)(2×2^k)=2Σ(k=1→n)(2^k)=2×{2×(2^n-1)/2-1}=2×2^(n+1)-4ここから2・2¹を引いた値なので、
2×2^(n+1)-8
となる。
よって(青線)=2×2^(n+1)-8+2-(2n-1)・2^(n+1)
=-(2n-1-2)・2^(n+1)-6=-(2n-3)・2^(n+1)-6
ここで(青線)=-Sより
S=(2n-3)・2^(n+1)+6
となる。

星光

有り難う御座います‼️🙇‍♂️