Question

し　【難関大学志望】

赤で線引いた所、【x－y－z】2乗≧0が成り立つのは分かりましたが、なぜy2乗＋z2乗≦5がでてくるのですか？途中式とかあったら教えてください！

テーマ
2
整数②
例題2
★☆☆ 20分
方程式
x+2y? +2z2xy-2.xz+2yz-5 = 0
をみたす正の整数の組 (x, y, z) をすべて求めよ。
(京大理系 01後)
理解) 文字が多いので、適当に式をイジって、 迷子になってしまう
人がいる問題ですが,どうですか? 式を変形するとき, 有名
な式変形のパターンなどの何らかの特徴があれば別ですが、基本は
1文字に着目して整理する
です。 今回は
yと2は入れ替えても元の
3文字がありますが,
式と同じ形に戻ります。 すなわち対称性があります。
対称性は,キープorくずす
の2つの方針があります。 では、 まずy,zの対称性をキープして, xの
式と見て整理してみましょう。
-2(y+z)x+2y2+2yz + 222 - 5 = 0
左辺は次式です。
2次式の変形は,因数分解 or 平方完成
が基本での因数分解はできそうにないので,平方完成してみます。
(1+2)-(1土+2y2+2yz+2z-5 = 0
計画
(x-y_z)+y2+2=5
よい形が出てきました。 (実数)2≧0であり, y, zは正の整数
だから,
(x-y-z)2≧0,y2 ≧ 1,221
などの不等式が利用できそうです。 どれでもよいですが、
(x-y-2)²≥0
を利用すると が消えるのでベターでしょうか。

実行
与式より,
-
x2-2(y+z)x+2y+2yz+2z-5=0
(x-y-2)+y+ 2 = 5
(x-y-z)=5-(+2)
(*)
....①
参照
x,y,zは実数であるから,(r-y-z)≧0が成り立つので①より.
+22≤5
これをみたす正の整数yzの組は.
(y, z)=(1, 1), (1, 2), (2, 1)
(y.z)=(1,1) のとき,①より (x-2)^ = 3
x-2=± 3
(y,z) = (1,2) のとき, ①より,(x-3)=0
・(y,z) = (21) のとき,①より(x-3)2=0
よって, 求める正の整数の組 (r,y,z) は,
(x,y,z) = (3.1,2) (3,2,1)
検討
無理数なの
でアウト!
:.x=2±√3<
x=3
x=3
結局は同じことなのですが、(*) の式を「3個の平方数(整数
を2乗した数)の和」と見て解くこともできます。つまり、
O°+△ += 5
と見ると,これは,
02 +12 + 2 =5
しかあり得ません。しかも, y≧11なので,
(x-y-z, y, z) = (0, 1, 2), (0, 2, 1)
の2通りです。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Mike_teacher

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