Question

pupa

数Ⅰ、集合と命題の分野です。
1枚目の問題で、Aの要素xが3個以下であるようなaの値の範囲を求めるとき、P＜3とP＜4で場合分けするのはなぜですか？
2枚目は正解へのアプローチ、3枚目は解答です。

集合A={x|a-2≦x≦+1, xは整数}において, A の要素 x が3個以下であるようなαの値
の範囲を求めよ。
BUK

24 3個以下の整数の要素をもつような
定数の条件
P=a²+1-(a-2)=a²-a+3
(i) <3, (ii) P<4 の場合に分けて
| 調べ, あとでまとめる。
(i) P<3 を満たすαはすべて条件を
満たし,d-a<0- →0<a<1... A
(i) P<4のときは, d-a-1 < 0 よ
り、
+1-√5<<1+√5
2
よって,Aを考えて
1-√5
(ア)
<a≤0, (1) a=1
2
(ウ) 1<a<
.1+√5
2
の場合に分けて調べる。
例えば,(ア)では,数直線上で考えると、
-3<a-2≦-2, 1≦a+1 < 2 よ
り,要素が4個となり不適。

24
(i) a2+1-(a-2) <3のときは常に題意を満たす。
a2-a<0, a(a-1)<0, 0<a<1
(ii) a2+1-(a-2) <4のときは題意を満たすとき
と満たさないときがある。
a-a-1<0より
1-5<a<1+√5
2
2
1-√5
(ア)
<a≦0 のとき
2
-3<a-2-2, 1≦a+1<2より要素が4となり
不適。
(イ) 0<a<1のとき
(i) より題意を満たす
(ウ) a=1のとき
a-2=-1, a2+1=2より要素が4となり不適
1+√5
(1) 1<a<-
のとき
2
-3+√5
.5 +5
-1<a-2<-
2<a²+1<-
2
2
3≦a² + 1 のときは要素が4となり不適であるが,
a2+1 <3, -√2<a<√2
すなわち, 1 <a<√2のときは要素が3となり適す
る。 したがって0<a<1, 1<a<

集合と命題

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

GDO

「３個を見つけやすいから」です
・求めたいのは整数３個
・計算している範囲は実数の幅（整数ではない）
なので、以下の場合分けすればで簡単に（？）見つけられそうだと考えた。
・幅が３未満であれば、その中に整数は必ず３個以下になる。
・幅が３の場合は、４個になるとき[瞬間]がある（端が整数の場合）
・幅が３～４未満の場合でも、整数が３個のときがある

場合分けしないで、見つけるには、
ポイントは、端の片方または両方が整数になるときなので、
幅が４未満となる条件において、端が整数になるときを調べることにより、
解が見つけられます（以下の通り）

a　　(1-√5)/2　～　(1+√5)/2 ：調べる範囲（幅が４未満）…a=－0.6～1.6
a-2 -2 -1　　　　　　　：調べる範囲でa-2が整数となる値…a＝ 0、1のとき
a^2+1　 1 2 3 　　　　　　：調べる範囲でa^2+1が整数となる値…a＝0 ±1(-1は範囲外) ±√2(-√2は範囲外)のとき
↓(以下は、表にすると見やすいのですが、見にくくてごめんなさい)
a　　(～) 0 ～ 1 ～ √2 (～)　：幅の端が整数になるときに注意して調べる
a-2　　　 -2　 -1 -0.6 　　　　
a^2+1 　 1　 2 3
個数　(4) 4 3 4 3 4 (4)：各区間・境界での整数の個数
３個になるのは、0<a<1、1<a<√2