Question

みみ

数列の問題なのですが（1）で帰納的に整数係数の〰︎︎とありますがどういうことでしょうか？そうなると証明されていないのに勝手に利用して良いのですか...？教えて頂きたいです。

総合 nを正の整数とし,次の条件(*)を満たすxについての次式Pn(x) を考える。
4
(*) すべての実数0に対して cosno=Pn(cos0 )
(1) n≧2のとき,Pn+1(x) をPn(x)とP-1(x) を用いて表せ。
(2) Ph(x)のx”の係数を求めよ。
(3)coso=
1
10
とする。 101000 cos” (5009) を10進法で表したときの, 一の位の数字を求めよ。
-18-48) [早稲田大
→本冊 数学B 例題 55
(1) cos(n+1)0=cos(n0+0)=cosnocoso-sinnQsin O
(←加法定理
cos(n-1)0=cos(no-0)=cosnocos0+ sinn0sin O
よって
cos (n+1)0+cos (n-1)0=2cos nocoso
1 (1+税)-
ゆえに
cos(n+1)0=2cosocosn0-cos(n-1)0
-
よって
Pn+1(x)=2xPn(x)-P-1(x) (n≧2) ...... ①
(2) Pi (x)=x
cos 20=2cos20-1 から
a1=1, a2=2+
また, ① において,最高次の項の係数を比較すると
an+1=2an (n≧2)
これらと① から, Pn(x)は帰納的に整数係数の次式といえる。
Pn(x) の最高次 x ” の係数を an とすると
P2(x)=2x2-1)
+
P2(x):2次式,
ゆえに, 数列{an} は初項 1,公比2の等比数列であるから
an=1•2"-1=2n-1
30G
←P+1 (cos0)
=2cosQPn(cose)
-PR-1(cos)
n-
←P, (x):1次式,
P2(x):2次式から,
P3(x)は3次式である。
P3(x) : 3次式から,
P4 (x)は4次式である。
==
(S)
100

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ヒラリバタフライ男爵

簡単に まとめてみました。

「数学的帰納法で証明できるけども、
解答用紙のスペースをかなり使うし、
面倒くさいので省略した」
ということだと思います。

実際、
・P1(x) は整数係数の 1 次式
・P2(x) は整数係数の 2 次式
という前提条件から、漸化式を使って
・2x Pk(x) は、整数係数の k + 1 次式になる。
・そこから k - 1 次式を ひいても次数は変化しない。
が言えるので、数学的帰納法で証明できそうです。
（厳密にやろうとすると、かなり大変そうですが）

証明を省略してもいいのか、という話ですが、
わりと直感的に明らかな内容ではあるので、
大きな問題の中の一部であれば いいのかもしれません。

『帰納的に』『数学的帰納法により』とか書いておけば
「こいつは ちゃんと分かってるな」
と思ってもらえるのかもしれません。
（断言はできませんが、ここらへんが いい落としどころなのかも）

ちなみに、その後の流れを見るに、
『整数係数であること』は わりと どうでもよくて
『n 次式であること』のほうが重要だと思います。