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逆関数はご存知でしょうか？
ある関数f(x)に対して、逆関数f^(-1)(x)があるとき、
f(x)とf^(-1)(x)はy＝xに関して対象で、
f(f^(-1)(x))＝x f^(-1)(f(x))＝x ……(＊)
が成り立ちます。
これだと分かりにくいので、具体例を挙げますね。
y＝f(x)＝3xとします。これの逆関数は……
y＝3xをxについて計算するとx＝y/3
xとyを入れ替えてy＝x/3
よってf(x)の逆関数はf^(-1)(x)＝x/3となります。
ここで、f(x)のxの部分をf^(-1)(x)に置き換えてみましょう。
そうすると、f(f^(-1)(x))＝3・x/3＝xとなりますね。
同じようにf^(-1)(x)のxの部分をf(x)に置き換えてみると
f^(-1)(f(x))＝3x/3＝xとなります。
確かに(＊)が成り立ってます！
逆関数は、(＊)のような不思議な性質を持っているんです。
本題に戻ります。
解説ではx-2＝tanθ ……(☆)
と置換して積分を進めた結果、θ+Cという式が出てきました。
ここで逆関数の性質を思い浮かべてみてください。
tanθの逆関数をtan^(-1)θと書くのですが、(＊)によると
tan^(-1)(tanθ)＝θが成り立ちそうですね。
もう一度(☆)を見てください。
x-2＝tanθ という式の両辺を、
関数tan^(-1)で飛ばしてあげると
tan^(-1)(x-2)＝tan^(-1)(tanθ)＝θ
ということで、θをxの式で表すことができましたね。
あとはθ+Cのθをtan^(-1)(x-2)で置き換えて完成です！
分かりにくかったらすみません🙇♂️
なるほど！
詳しく教えて下さりありがとうございます🙇🏻♀️