Question

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ピタゴラス数の証明の最後の部分で
なぜ、a^2+b^2とc^2が合同でなければ、
a^2+b^2≠c^2となるのですか。

整数論 証明

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

なむる

いまいち何の話をしているのか掴めませんが、とりあえずあなたの質問文の下2行について、一般的な説明をしておきますね。
質問文に法が明記されていませんので、ここでは正の整数 n を法とします。また、記述の面倒を避けるために、A = a² + b², B = c² とします。

A と B が合同でないとは、A を n で割った余り(rAとする)と、B を n で割った余り(rBとする)が等しくないということです。
もし A = B なら、当然 rA = rB となります。同じ数を n で割るわけですからね。しかし、A と B は合同でない、すなわちrA ≠ rB なので、A ≠ B であることがわかります。

(補足)
合同式を用いて説明します。
一般に、A, B を整数、n を正の整数とすると、
" A = B ならば A ≡ B (mod n) " ・・・(＊)

は成り立ちます。ゆえに、(＊)の対偶の、

" A ≡ B (mod n) でないならば A ≠ B "・・・(＊＊)

も成り立ちます。本説明では、(＊＊)を用いて A ≠ B を導いています。

蛇足ですが、(＊)の逆である
" A ≡ B (mod n) ならば A = B である "
と、その対偶の
" A ≠ B ならば A ≡ B (mod n) でない "
は当然成り立ちませんね。

整数 余り 合同式

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質問内容が抽象的ですみません。
分かりやすい解説ありがとうございます✨️