Question

☆彡.。‎𖤐 ̖́-‬𓆩⋆𓆪‬

どのように解けばいいんですか？💦

数列{an}の初項から第n項までの和Snが, 一般項an を用いてSn=2an+n と表
されるとき,一般項an をnで表せ。
[類宮崎大]
p.497 EX 28

Su = 2an+n
S₁= 2a₁+1 = a₁
Q₁ = -1
nzzare An 2anth - (2an #1-1)
= 2an+^ - ²an+ -mel
Auf 2a4x + 1
*

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

こたつみかん

考え方は正しいですよ！
多分、a(n-1)が出てきてびっくりしたんですよね。
「n≧2でSn-S(n-1)＝an」
という式は、nの定義域(n≧2)をちゃんと動かせば、(Sn-S(n-1)＝an)の部分のnに関しても
ずらすことが出来ます。

証明は、たとえばある文字kを用いて、
n＝k+1とすると(k＝n-1より、n≧2でk≧1である)
「n≧2でSn-S(n-1)＝an」
という式は
「k≧1でS(k+1)-Sk＝a(k+1)」
と書き換えられます。
この式は同じ意味を持ちます。

今、文字をkと置いているけど、
このkは別にmでもtでも変わりません。
「●≧1」という条件を満たすなら、
●にはどんな文字を入れても
「S(●+1)-S●＝a(●+1)」
は満たされます。

なら●をnとしても、「n≧1」を満たすなら、
「S(n+1)-Sn＝a(n+1)」
としても良いのだ！という理解です。

なので、
「k≧1でS(k+1)-Sk＝a(k+1)」は、
「n≧1でS(n+1)-Sn＝a(n+1)」と同じです。

よって、
「n≧2でSn-S(n-1)＝an」は、
「n≧1でS(n+1)-Sn＝a(n+1)」と同じです。

あとは写真参照してください。
これ以降はオーソドックスな漸化式なので、
分からなかったら質問してください。
頑張ってください💪🏻

☆彡.。‎𖤐 ̖́-‬𓆩⋆𓆪‬

わかりやすくありがとうございます！助かりました！😭