Question

シャープペン　辺

写真3枚目でなぜ微分をしているのですか？また、1回微分した所の途中式をお願いします！教えてください！

Y
ab0 とする。 自然数nに対して,次の不等式を証明せよ。
a" -b" ≤ (a−b)(a"-¹ +b"-¹)
[82年名古屋大学,

見抜け
は可能ですけどね。
示すべき式を
としておく。
a" -b' s(a−b)(a + b)
解答
2011/1とな
であるから、題意は( ) の両辺b (0) で割った不等式
(*) (*-¹ (-1){()*+1}
-15-
を示すことと同義である。
71
2 b
.... (☆)

20
さらに,r=0 とおけば、①より」の変域は1だから,結局
「121 なる任意の実数｣に対して
2r" - 2 ≤n(t-1)(*¹ + 1)
が成り立つ」
を示すことに帰着される。
i)n=1のとき
( (*)の左辺)=21-2
( (*)の右辺)=2r-2
となって、確かに 121なる任意の実数」で(*)は成り立つ常に等号となる)。
ii) n=2のとき
( (*)の左辺) = 22²-2
( (*)の右辺)=2(-1)(t+1)=212-2
となって、このときも確かに21なる任意の実数で(*)は成り立つ (常に等号となる)。
n≧3のとき
として,
f(t) = n(t− 1)(t"−¹+1)-2t" +2
=(n-2)t-nt"l+nt-n+2 (t≧1)
1 なぜイしているのか?
2
f'(t) = n(n − 2)t"−¹ − n(n − 1)t”−² + n
f"(t)=n(n-1)(n-2)-2-n(n-1)(n-r"-3
=n(n-1)(n-2)t"-3(-1)≧0 [+ /21]
だから,t ≧1 で f'(r) は単調増加。
: f'(t) ≥ f'(1) = n(n − 2) = n(n-1)+n=0
すなわち, f(t) も単調増加で,
f(t)=f(1)=(n-2)-n+n-n+2=0
だから,21なる任意の実数で(*)は成り立つ。
したがって,以上i) ~ iii) より, すべての自然数nで不等式
n
a" −b" ≤²(a−b)(a"¯¹ +b"-¹) (a≥b>0)
の成り立つことが示された。
ただし、等号成立は次のときに限る。
n=1 or 2 のとき, a≧60 を満たす任意の実数 a, b
ln23のとき、a,bがa=b(0) となるとき
上に上がった
3問数
同立加を
示すめと
タンを
上に上がるため
13301710
terber
A² 3X1
h²1₁ 210
ALYPS

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

t≧1に対して、
f(t)＝n(t-1)(tⁿ⁻¹+1)-(2tⁿ-2)≧0
が成り立てばいいわけです。
であるなら、f(t)の極値とグラフ形状がわかれば、f(t)≧0であるかどうかの判断ができるわけです。だから1回微分をして極値を、2回微分をして増減(単調増加)を調べているわけです。

微分について
f(t)＝n(t-1)(tⁿ⁻¹+1)-(2tⁿ-2)
　＝(n-2)tⁿ-ntⁿ⁻¹+nt-n+2
をtで微分します。
(n-2)tⁿはn乗を前に出して、n-1乗にしてn(n-2)tⁿ⁻¹
ntⁿ⁻¹はn-1乗を前に出して、n-2乗にしてn(n-1)tⁿ⁻²
だから、
f'(t)＝n(n-2)tⁿ⁻¹-n(n-1)tⁿ⁻²+n
になっています。

シャープペン　辺

なるほどです。
しかし、初見でこの問題を見た時微分するっていう発想がわからないのですがどうすればいいですか？

きらうる

不等式の証明は、左辺-右辺や相加相乗平均やコーシーシュワルツの不等式など、いろいろあります。
今回の問題は、平均値の定理を用いてもできますし、因数分解を用いて証明することもできます。別に微分して求めるだけが解法ではないので、いろいろな考えができるようになればいいかなと、個人的には思います。

ちなみに因数分解を用いるやり方は、
aⁿ-bⁿ
＝(a-b)(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²b+aⁿ⁻³b²+…+abⁿ⁻²+bⁿ⁻¹)
a≧bだから、
≦(a-b)(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²a+aⁿ⁻³a²+…+aaⁿ⁻²+aⁿ⁻¹)
　＝n×(a-b)(aⁿ⁻¹)
　＝n/2×(a-b)(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻¹)
≦n/2×(a-b)(aⁿ⁻¹+bⁿ⁻¹)