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ω^3=1とすると、
x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)
より、ω,ω*はx^2+x+1=0の解だから、解と係数との関係より、
ω+ω*=-1
ωω*=1
-ωについて、
(-ω)+(-ω*)=1
ωω*=1
より、-ω,-ω*は方程式x^2-x+1=0の解になる。
x^3+1=(x-1)(x^2-x+1)より、
x^3+1=0の解は-1,-ω,-ω*となる。
同様にすれば、x^3+a^3=(x-a)(x^2-ax+a^2)について、
x^2-ax+a^2=0の解が-aω,-aω*であることが導けます。
これが多分1番論理的なやり方です。
直観的なのは展開すればそれで示せますね。
とても分かりやすかったです！(*´▽｀*)丁寧な解説ありがとうございました
複素数平面をやっているなら、
x^3+1=0の解は複素数平面において、点(-1)をひとつの頂点として半径1の円に内接する正三角形の各頂点であり、各頂点は-1,-ω,-ω*である。
x^3+a^3=0の解は各頂点をさらにa倍すればよいから、-a,-aω,-aω*
でもいけます