Question

あ

確率の問題です！
(3)の解答で赤い線で引いてある所が分かりません…😭

Z6 座標平面上にある点Pは, はじめ原点にある。 3枚の硬貨を同時に投げて、次の
×5.4×規則)32
に従って点Pが移動する。 これを1回の操作とする。
【規則】
表がm枚、裏が3-m枚出たとき,x軸の正の方向にだけ移動し、y軸の正の方向に
3m だけ移動する。 ただし, m=0, 1, 2, 3 である。
⑦右
真上
3
(1) 操作を1回行った後, 点Pが点 (2, 1) に到達する確率を求めよ。
(2) 操作を2回続けて行った後, 点Pが点 (3, 3) に到達する確率を求めよ。 また、操作を
2回続けて行った後, 点Pが点(3,3) に到達するとき, 1回目の操作の後で点(21)に
到達していなかった条件付き確率を求めよ。.
(3) 操作を3回続けて行った後, 点Pが点 (5, 4) に到達するとき、1回目の操作の後で点
(21) に到達せず,かつ, 2回目の操作の後で点 (33) に到達していなかった条件付き確
率を求めよ。
jin)
(
10)

9
Z6
場合の数と確率 ( 40点)
座標平面上にある点Pは, はじめ原点にある。3枚の硬貨を同時に投げて,次の【規則】
に従って点Pが移動する。 これを1回の操作とする。
【規則】
表が m枚,裏が 3-m枚出たとき、x軸の正の方向にmだけ移動し、y軸の正の方向に
3m だけ移動する。 ただし, m=0, 1,2,3である。
(1) 操作を1回行った後, 点Pが点 (2,1) に到達する確率を求めよ。
(2) 操作を2回続けて行った後, 点Pが点 (33) に到達する確率を求めよ。また,操作を
2回続けて行った後, 点Pが点 (33) に到達するとき、1回目の操作の後で点 (2, 1) に
到達していなかった条件付き確率を求めよ。
(3) 操作を3回続けて行った後, 点Pが点 (54) に到達するとき、 1回目の操作の後で点
(21) に到達せず,かつ, 2回目の操作の後で点 (3,3) に到達していなかった条件付き確
率を求めよ。
配点 (1) 8点(2) 14点 (3) 18点
操作を1回行った後、点Pが点 (21) に到達する。すなわち3枚の硬貨
を同時に1回投げて、点Pが点 (21) に到達するのは、3枚の硬貨のうち表
が2枚、裏が1枚になった場合である。
よって、求める確率は
C₂ ( 12 ) ²2/12/2
3-8
盥
反復試行の確率
1回の試行で、互いに排反な事象
A,Bの起こる確率をそれぞれp,q
とする。 この試行をn回行うとき､
Aが回, Bがn-r回起こる確率
は
nCrp"q"-"

6
A
CO
O
GO
解法の糸口
P(E)
3枚の硬貨を同時に1回投げた後、表もしくは裏の枚数に応じて4つの場合が起こるので,それぞれの確率およ
び点Pの動き方をまとめる。 操作を2回行った後、点Pが点 (3.3)に到達する確率は, 1回目の操作で起こる事
象で場合分けを行う。 後半は、操作を2回行った後。 点Pが点 (3.3)に到達するという事象をE, 1回目の操作の
後で点Pが点(2.1)に到達していなかったという事象をFとすると 求める条件付き確率はPE(F)=
(2)
である。
3枚の硬貨を同時に投げたとき、 表が0枚出る｣。 「表が1枚出る｣ 「表が
2枚出る｣「表が3枚出る｣ という事象をそれぞれ A, B, C, D とおく。
Aが起こる確率は、裏が3枚出る場合より
また、点Pは、軸の正の方向に3だけ進む｡
Bが起こる確率は、表が1枚、裏が2枚出る場合より
また、点Pは、軸の正の方向に1だけ、軸の正の方向に2だけ進む。
Cが起こる確率は, (1) より
また、点Pは、x軸の正の方向に2だけ、y軸の正の方向に1だけ進む｡
Dが起こる確率は表が3枚出る場合より
また、点Pは,x軸の正の方向に3だけ進む。
操作を2回行った後, 点Pが点 (33) に到達するのは
(i) 1回目の操作で A. 2回目の操作でDが起こる
(i) 1回目の操作で B, 2回目の操作でCが起こる
() 1回目の操作で C. 2回目の操作でBが起こる
(iv) 1回目の操作でD, 2回目の操作で A が起こる
のいずれかの場合である。
(i) の確率は
11
(i) の確率は
33 9
88-64
( )の確率は
(iv) の確率は
33 9
88-64
1,1 1
(i)~(iv)は互いに排反であるから 求める確率は
1991_20_5
64 64 64 64 64 16
また操作を2回行った後, 点Pが点(3,3) に到達するという事象をE,
1回目の操作で点Pが点 (2,1) に到達していなかったという事象をFとすると
- 80-
▼点Pの移動の様子を樹形図で表す
と下記の通り。
(0, 0)
(0, 3) (3, 3)
(1, 2)-(3, 3)
(2, 1)-(3, 3)
(3, 0) (3, 3)
$100
排反事象の確率
2つの事象AとBが互いに排反で
あるとき
P(AUB)=P(A)+P(B)
P(E)=-
20
64
ECF は, (i)または(ii)または(iv) の場合であるから
(3)
P(EF)=
よって、求める条件付き確率は
P(ENF)
PE(F)=P(E)
-4+64 +64-614
完答への
道のり
11
_64 11
20 20
64
「自分の解答を振り返ろう
圈 (順に)
れが0回でる
1回目の操作で A. 2回目の操作でDが起こる確率を求めることができた。
③ 1回目の操作で B, 2回目の操作でCが起こる確率を求めることができた。
© 1回目の操作で C. 2回目の操作でBが起こる確率を求めることができた。
⑩ 1回目の操作で D. 2回目の操作でAが起こる確率を求めることができた。
2回目の操作後, 点Pが点 (3.3)に到達する確率を求めることができた。
点Pが1回目の操作後点 (21) に到達せず。 2回目の操作後に点 (3.3)に到達する確率を求める
ことができた。
KUELE
© 点Pが2回目の操作後に点 (3.3) に到達するとき、1回目の操作後に点 (21) に到達していな
かった条件付き確率を求めることができた。
5 11
16 20
3a+2b+c=4
10sas 3, 0≤b≤3, 0≤cs3 (a, b, c)
整理して
条件付き確率
事象Aが起こったときの、事象B
が起こる条件付き確率は
P(A∩B)
P(B)=P(A)
解法の糸口
操作を3回続けて行った後, A, B, C, Dがそれぞれ, a,b,c, (3-a-b-c) 回起こるとし, 与えられた条
件をa,b,c の関係式で表す。 その後, 関係式を満たす α, b,cの値の組を求める。
[3a+2b+c=4
(0 ≤a ≤ 3,
0≤c≤3 (a, b, c)
これを満たす a,b,cの値の組は
(v) a=0,b=1,c=2
(vi) a =0, b=2, c=0
(vil) a=1,6=0,c=1
のいずれかである。
(v) はBが1回 Cが2回より、 その確率は
512
(vi)はBが2回, D が1回より, その確率は
操作を3回続けて行った後, 点Pが点(5, 4) に到達するとき, A, B, C,
Dがそれぞれ, a,b,c, (3-a-b-ć) 回起こるとすると
[b+2c+3(3-a-b-c)=5
- 81 -
1
.....2
操作を3回行った後の点Pのx座
標が5であることより①, y座標が
4であることより②が立式できるが,
①は整理すると②となる。
b≧0,c≧0より
3a =4-2b-c4
これを満たすαは、 α = 0, 1 のいず
れかである。