Question

ゆう

2変数関数f(x,y)のyの部分にxを代入する理由はなんですか？

これは2変数関数の極値を求める問題で、D=0となってしまった場合の問題です。

解答お願い致します。

2変数関数の極値 (IV)
演習問題 117
|2変数関数f(x,y)=2x-2y3-3x2+6xy-3y2 の極値を調べよ。
ヒント! A の符号と, B2 -AC の符号で極値を調べよう。
解答&解説
z=f(x,y)=2x-2y3-3x2+6xy-3y'...... ① とおく。
まず、1階の偏導関数を求めると,
|fx=6x² - 6x+6y= 6(x² − x + y)
15,=-6y2+6x-6y=-6(y2-x+y)
fx = 0 かつfy = 0 のとき,fx²-x+y=0
[y² = x+y=0
......3
③-②より、y^-x²=(y+x)(y-x)=0 ∴y = ±x
•y=xのとき,②より,x2-x+x=x2=0 ∴x=y = 0
Cyto
•y=-xのとき,②より, x2-x-x=x(x-2)=0
∴x=0,2より, (x,y)=(0,0),(2,-2)
以上より, (x,y)=(0,0),(2,-2)
次に,2階の偏導関数を求めると,
fxx=12x-6, fxy = 6, fyy=-12y-6
これに④の各組の値を代入したものを,それぞれA,B,C とおく。
(i) (x,y)=(2,-2) のとき,
|160
|A=fxx(2,-2)=12×2-6=24-6=18> 0
B=fxy (2,-2)=6
C=f,(2,-2)=-12×(-2)-6=18
∴. B2-AC = 62-182 < 0
極値をとる可能性のある点は、
(0,0),(2,-2)の2点
B2 -AC < 0 かつA>0より、点 (2,-2) f(x,y) は極小となる。
極小値f(2,-2)=2・23-2・(-2) 'ー3・2'+6・2・(-2)-3・(-2)
TO
TU
16
-16
12
-24
12
=
=16+16-12-24-12=-16
(答)

((x,y)=(0.0)のとき
(A=f(0, 0) = 12×0-6=-6<0
<B=Sxy (0.0)=6
|c=Sy,(0,0)=-12×0-6=-6
ここで、B2-AC=62-(-6)×(-6)=0
よって、これだけでは,z=f(x,y) が点(0, 0) で極値をとるかどうか
判定できない。
よって,極値か否か未定だが, f(0,0)=0である。
ここで、試しに, y = x ⑤ 上の点について調べてみよう。
⑤①に代入して,
f(x, y)=f(x, x) = 2x³2x²-3x² + 6x²-3x²=0 [=f(0, 0)]
よって、直線y=x (x≠0) 上のどの点P(x,y) をとっても,
f(x,y)=0=f(0, 0) となるから,(0, 0) は極小値でも極大値でもない。
すなわち,点(0,0) z=f(x,y) は極値をとらない。
参考
y=-xのとき,
f(x, y)=f(x, -x)
=2x3-2(-x)3-3x2
+6x.(-x)-3(-x)2
= 2x²+2x³-3x²-6x²-3x²
y=-x
[S<0
f=0
●2変数関数の分
-3
[f=0
y=x
･･
<0
S>0
=4x3-12x2
= 4x²(x-3)
より、xy平面上で点 (0, 0) の付近における2直線y=±x上の点
P(x,y) に対するf(x,y) の符号を右上図に示す。 この図から,
f(0.0)は極大でも極小でもないことが分かる。
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