✨ ベストアンサー ✨
(1)
x＝(1+√3i)/2より、
→ 2x＝1+√3i
→ 2x-1＝√3i
→ (2x-1)²＝(√3i)²
→ 4x²-4x+1＝-3
→ 4x²-4x+4＝0
→ x²-x+1＝0
よって、f(x)はx²-x+1を因数に持つことから、
f(x)＝(x-d)(x²-x+1)と置ける。
＝x³+(-1-d)x²+(1+d)x-d
この式と、f(x)＝x³+ax²+bx+cが一致すればいいので、係数比較して
a＝-1-d…①、b＝1+d…②、c＝-d…③
③を①②に代入して、
a＝-1+c、b＝1-c
ありがとうございます！！
(2)
(1)より、
f(x)＝(x+c)(x²-x+1)と置くことができる
f(1)＝1+cから、pを整数として
1+c＝7p+4…①
f(-1)＝3c-3から、qを整数として
3c-3＝11q+2…②
①はc＝7p+3、②は3c＝11q+5となり、①を②へ代入し
3(7p+3)＝11q+5
→ 21p-11q＝-4…③
p,qは整数なので、p＝4、q＝8を代入すると成立することから、
21p-11q＝-4
21・4-11・8＝-4
引いて、
21(p-4)-11(q-8)＝0
21と11は互いに素なので、kを整数として、
p-4＝11k、q-8＝21kと置くことができるから、
①②に代入し、
①…c＝7(11k+4)+3 → c＝77k+31
|c|≦40より、|77k+31|≦40から
kに当てはまる整数は0のみ
すなわち、c＝31となる。
よって、f(x)の解は
x＝31、(1±√3i)/2