Question

いのうえ

(2)なんですが、2と3は互いに素だから、指数比較をして連立方程式を解くっていう方法ではダメなのですか？

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(1) 2'3を満たすは有理数でないことを証明せよ。
を満たす有理数x,yを求めよ。
(2) 22
(3) (n²-3n+3) 8+15=1 を満たす自然数nのうち、最小なものと最大なも
<考え方> (1) 23 を満たす有理数ヶが存在すると仮定して矛盾を導く。
(2) (1) の結果を利用する.
(3) a>0 のとき, α=1 となるための条件は, α = 1 または 6=0 で
(1) 2'=3 を満たす有理数が存在すると仮定する.
2"=3>1より, >0 であるから,
=m (m,nは自然数) ･･････①
72
とおける.
よって,
27 = 3
両辺をn乗すると
2m=3n
ここで,m,nは自然数より 2 は偶数, 3" は奇数で
ある.
つまり、②は成立しない.
したがって, ① とおくと矛盾が生じるから, rは有理
数でない.
(2) 2×33y=2-y+23x より,.
2x+y-2=3x-3y .....1
x-3y0 と仮定して, ① の両辺を
(=
x+y-2
x-3y
0-1X1440)
1
x-3y
x+y-2
2 x-3y =3
ここで, x,yは有理数より, x+y-2, x-3yも有理
数であるから,
も有理数となり、(1)により②は
・乗すると,
(3) (n²-3n+3)²-8n+15=11450
成立しない.
よって, x-3y=0 でなければならない.
このとき, ①より, 2x+y-2=1 となり, x+y-2=0 で
ある。
したがって, x-3y=0 かつ x+y-2=0 より,
背理法で示す
1 (偶数)=
両辺を2-
2"=3の