Question

ひめ

(1)(2)どちらもさっぱりわかりません…
模範解答も意味不明です😭😭
模範解答とは別の解法がありましたらそちらでも全然大丈夫です！よろしくお願いします🙇🏻‍♀️

250 m>0, n>0, m+n=1, a>0, b>0 93.
(1) (mp+ng)² ≤mp²+nq² (2) √ma+nb≥ m√ a + n√ b

(1) P=mp2+nq² - (mp+ng)? とおく。
P=mp²+nq²-(m²p²+2mnpq+n²q²)
= (mm²) p²-2mn pq+(n-n²)q²
= m(1 m)p²-2mn pq+n(1-n)q²
ここで,m+n=1 から n=1-m, m=1-n
よって P= mnp²-2mnpq+nmq² = mn(p²-2pq+q²) = mn(p-q)²
m>0,n>0, (p-g) 2≧0であるから P≥0
ゆえに (mp+ng)² ≤mp² +nq²
等号が成り立つのは, p=gのときである。
(2) m>0, n>0, a>0, b>0775 √ma+nb>0, m√√a+n√b>0
両辺の平方の差を考えると
.......
(√ma+nb)²-(m√a+n√b)²=ma+nb_(m²a +2mn√a √√b+n²b)
=(m-m²)a-2mn√√√b + (n -n²) b
= m(1-m)a-2mn√a √b+n(1-n)b
よって (√ma+nb)² ≥(m√a+n√√b)²
ゆえに, ① から √ma+nb≥m√√a+n√√b
等号が成り立つのは, √a = √ すなわちa=bのときである。
1
=mna-2mn√√a √b + nmb
=mn(a-2√a √b+b) = mn(√a -√b)² ≥0

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

数学科

模範解答とほぼ同じことしか書いてないですけど、よかったら参考にしてください。
疑問があれば遠慮なく言ってください。

ひめ

やっと理解できましたーーー😭
数学科さんのわかりやすい解説のお陰です😭💖
夜遅くにありがとうございました＞＜

数学科

よかったです👍

Answer 2

꧁𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑒꧂

既に回答がついてますが,どこが分からないか教えてもらえれば詳しく説明します.
基本は両辺を引いて正負を判断しましょう,定石です.

(別解)
過去に全く同じ質問に回答したことがあったので,そのときの回答をコピペします.
～～～～～～～～～～
・Jensenの不等式
f(x)が凸関数,0以上の実数λᵢ(i＝1,2,…,n)がλ₁＋λ₂＋……＋λₙ＝1を満たすとき
Σλᵢf(xᵢ)≧f(Σλᵢxᵢ)……（＊）
ただし,Σλᵢf(xᵢ)＝λ₁f(x₁)＋λ₂f(x₂)＋……＋λₙf(xₙ)
f(Σλᵢxᵢ)＝f(λ₁x₁＋λ₂x₂＋……＋λₙxₙ)
y＝x²は凸関数です(凸関数の厳密な定義はあります).
～～～～～～～～～～
（＊）のn=2の場合を使います.
今回は(1)だけやります.
～～～～～～～～～～
（＊）のn=2の場合で,x₁＝p,x₂=q,m=λ₁,n=λ₂とおくと,λ₁＋λ₂＝1
これとf(x)=x²とおくと,f(x)は凸関数なので
Jensenの不等式より
mf(p)＋nf(q)≧f(mp+nq)
mp²＋nq²≧(mp+nq)²
～～～～～～～～～～
類:　実数a,b,c,dに対して
(a⁴+b⁴+c⁴+d⁴)/4≧{(a+b+c+d)/4}⁴
を示せ.

ひめ

ひーー難しい🥹練習を積みたいと思います…！
ありがとうございました🙇🏻‍♀️💭