Question

チョコ

数学の図形の問題です。どのように解いたらいいのか全く分かりません🥺教えてください🙏

1
90°⁰
π
右図のように,∠BAC= =₁ BC=√14 の直角三
2
2.
角形 ABCと三角形 APB, 三角形 AQC がある。
PA=2, PB=3, QA=2, QC =1,∠APB = α.
∠AQC-β とする.
(1) AB', ACをそれぞれα, B を用いて表せ ,
また、cosa と cos βの間に成り立つ関係式を求めよ。
(2) β=2aのとき, α, βの値を求めよ.
(3) 三角形 APB と三角形 AQCの面積の和をSとする. S2 15 を示せ、また、等号
が成り立つときの COS α の値を求めよ.
13
A
√14
O

数ii 余弦定理 正弦定理 図形 cos ‪α‬ β

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

高橋

(1)
△APBについて、余弦定理より
AB²＝AP²＋BP²－2AP・BP・cosα＝13－12cosα
△AQCについて、余弦定理より
AC²＝AQ²＋CQ²－2AQ・CQ・cosβ＝5－4cosβ
△ABCについて、三平方の定理より
AB²＋AC²＝BC²　⇒　18－12cosα－4cosβ＝14　⇒　3cosα＋cosβ＝1
-----------------------------------------------------------------------
(2)
3cosα＋cosβ＝1にβ＝2αを代入すると
3cosα＋cos2α＝3cosα＋2cos²α－1＝1
（cos2α＝cos²α－sin²α＝cos²α－(1－cos²α)＝2cos²α－1）
⇒　2cos²α＋3cosα－2＝(2cosα－1)(cosα＋2)＝0　⇒　cosα＝1/2　⇒　α＝60°、β＝120°
-----------------------------------------------------------------------
(3)
△APB＝AP・BP・sinα÷2＝3sinα、△AQC＝AQ・CQ・sinβ÷2＝sinβ
S＝△APB＋△AQC＝3sinα＋sinβ
S²＝9sin²α＋6sinαsinβ＋sin²β・・・①
また、(1)より
1＝3cosα＋cosβ
1²＝9cos²α＋6cosαcosβ＋cos²β・・・②
①＋②
S²＋1＝9＋6(sinαsinβ＋cosαcosβ)＋1＝10＋6cos(α－β)
⇒　S²＝9＋6cos(α－β)
一般に、cosθはθ＝2nπ（n：整数）のとき最大値1をとる。
したがって、cos(α－β)はα－β＝2nπすなわちα＝β＋2nπのとき最大値1をとる。
0＜α＜π、0＜β＜πなので、n＝0　⇒　α＝β
cos(α－β)が最大値1をとるとき、S²＝15　⇒　S²≦15　Q.E.D.
等号成立はα＝βのとき　⇒　3cosα＋cosβ＝3cosα＋cosα＝4cosα＝1
⇒　cosα＝1/4

チョコ

回答ありがとうございます!!助かりますm(_ _)m
（3）のしたがって...からが良く分からないのですが、何故0<а<π、0<b<πだとn=0になるのでしょうか？

高橋

三角形の内角の和は180°つまりπなので、1つの内角がπ以上になることはありません。また、内角が0以下になることもありません。つまり、三角形の1つの内角は必ず0より大きくπより小さい、というのが「0＜α＜π、0＜β＜π」の意味です。

ここで、「α＝β＋2nπ」において、右辺は0＜β＜πより2nπ＜β＋2nπ＜(2n＋1)π
⇒　左辺＝右辺より2nπ＜α＜(2n＋1)πとなり、これが0＜α＜πと矛盾しないのはn＝0のときだけです。

チョコ

なるほど!!理解出来ました！ありがとうございました☺️🙏