Question

endeavor

（2）で（1）におけるxの部分がfxに置き変わっていることに関して、（1）のxの範囲は（2）ではfxの範囲として利用して良いのはなぜですか？

T14
重要 例題 68 定義域によって式が異なる関数 (2)
関数f(x) (0≦x≦4) を右のように定義すると
き,次の関数のグラフをかけ。
(1) y=f(x)
② y=f(f(x))
2x
(0≦x<2)
f(x)={ 8-2x (2≦x≦4)
指針 定義域によって式が変わる関数では, 変わる境目のx,yの値に着目。
(2) f(f(x)) f(x)のxにf(x) を代入した式で,
0≦f(x)<2のとき 2f(x),
(1) のグラフにおいて, 0≦f(x)<2となるxの範囲と, 2≦f(x) ≦4となるxの範囲を見
極めて場合分けをする。
2≦f(x) ≦4のとき 8-2f(x)

(1) グラフは図 (1)。
[2f(x)
(0≤ f(x) <2)
1 (2) f(f(x))=
(8-2f(x) (2≤ f(x) ≤4)
よって, (1) のグラフから
0≦x<1のとき f(f(x))=2f(x)=2.2x=4x
に 1≦x<2のとき
2≦x≦3のとき
3<x≦4のとき f(f(x))=2f(x)=2(8-2x)=16-4x
よって, グラフは図 (2)。
(1)
2
YA
4
fo
<fx< 2)₂2
J
f(f(x))=8-2f(x)=8-2.2x=8-4x
f(f(x))=8-2f(x)=8-2(8-2x)=4x-8
01 23 4 x
(2)
f(fex)
YA
M
0 1 2 3 4
x
f(x)
[参考] (2) のグラフは,式の意味を考える方法でかくこともできる。
[1] f(x) が2未満なら2倍する。
[2] f(x) が2以上 4以下なら, 8から2倍を引く。
[右図で、黒の太線・細線部分がy=f(x), 赤の実線部分が
y=f(f(x)) のグラフである。] なお,f(f(x)) f(x) f(x) の
合成関数といい, (fof) (x) と書く (詳しくは数学ⅢIで学ぶ)。
変域ごとにグラフをかく。
1 (1) のグラフから、f(x)の
変域は
0≦x<1のとき
0≤ f(x) <2
1≦x≦3のとき
2≤ f(x) ≤4
3<x≦4のとき
0≤ f(x) <2
また, 1≦x≦3のとき,
f(x) の式は
1≦x<2なら f(x)=2x
2≤x≤35 f(x)=8-2x
のように,2を境にして式
が異なるため, (2) は左の解
答のような合計4通りの場
合分けが必要になってくる。
YA
4
2
O
8から2倍を
引く
2倍する
4 X

二次関数

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ベン

少し解説書いてみましたがいかがでしょうか

不明点あれば遠慮なく質問どうぞ👍

endeavor

x→fxに変化するとxの範囲をfxの範囲へ変換するという考えはこの問題のようにxにfxを置いてfxの範囲として利用することも可能ということですか？

ベン

『全ての関数で、xをdxに置き換えてfxの範囲として利用できる』ではないですよ！

今回は、f(fx)と与えられているからこの考え方ができるだけです。

endeavor

あ！そういう事なんですね。
f（fx）はxの所にfxを置き換えているからできるというのが分かれば全て納得いきました！
ずっとfxの範囲は0から4までしかないんじゃないのかなと疑問に思っていたので助かりました！

ベン

f(fx)は機械のようにx→fxと置き換えてあげるだけなのでラッキー問題です！👍

頑張って下さい👍

endeavor

丁寧な説明本当に助かりました！
ありがとうございます。
頑張ります！plus ultra