Question

むむ

大学の課題の問題なのですが数学の知識がほとんどなく全くわかりません。期待値のレポートと書いてありました。過程も教えていただけるとありがたいです🙇‍♀️

ガチャを引くために1回につき100円を課金する, 子供
向けのゲームがありました。
そのガチャで出現するスペシャルレア (SR) カードの中に,
ある7種類すべて集めるととても魅力的な特典が提供さ
れるとします。 その特殊な SR カードはどのカードも毎回
1
均等に の確率で出現し, その確率情報も公開されて
30
いるものとします。 このガチャについて,以下の問題を1
篇のレポートにまとめて提出しなさい。
1.7種類の SR カードをコンプリートするための,平
均課金額を求めなさい。

Answer 1

ぺんぎん

「つづき」
　　∑(m=1→∞){m✕(k/7)^(m-1)✕(1-k/7)}
　　　　=1/[{1-(k/7)}²]✕(1-k/7)=1/(1-k/7)=7/(7-k)。
＿依って、
　　N=Σ(k=0→6){7/(7-k)}=7✕(1+1/2……+1/7)
　　=7✕(7!+7!/2+7!/3!+7!/4+7!/5!
　　　　+7!/6+7!/7)/7!　　
　　=(5040+2520+1680+1260+1008
　　　　+840+720)/6!
　　=(840+420+280+210+168+140+120)
　　　　/5!
　　=(420+210+140+105+84+70+60)
　　　　/(5✕4✕3)
　　=(420+210+140+105+84+130)
　　　　/(5✕4✕3)
　　=(420+210+140+189+130)
　　　　/(5✕4✕3)
　　=(420+210+270+189)/(5✕4✕3)
　　=(140+70+90+63)/(5✕4)
　　=(210+153)/(5✕4)
　　=363/(5✕4)
＿従って、カード全体に対する抽選回数の期待値は、
　　N/(7/30)={363/(5✕4)}/(7/30)
　　　　　　=(363✕30)/(5✕4✕7)
　　　　　　=(363✕6)/(4✕7)
　　　　　　=(363✕3)/(2✕7)
　　　　　　=1089/14 (≒77.7857)
＿依って、7種類が揃う期待値の回数は、1089/14[回]であり、切り上げて、78[回]。金額は、54450/7[円]であり、切り上げて、7789[円]。100円毎の繰り上がりを考慮すれば、7800[円]。

Answer 2

ぺんぎん

＿設問の日本語が唯一の意味に限定されていない様に思います。
＿「スペシャルレア(SR )カードの中に，ある7種類すべてを集めると」とあり、スペシャルカードが7種類なのか、7種類を越えてあり、そのうちの7種類なのか、ならば、何故「すべて」と言う言葉を使うのか、が分からない。
＿ここでは、「スペシャルレア(SR )カードは多くあり、その内の特定の7種類を集めると」と解釈する。これ以降、スペシャルレア(SR )カードの内の特定の7種類を目的カードと呼ぶ。
＿「その特殊なSRカードはどのカードも毎回均等に1/30の確率で出現し，その確率情報も公開されている」とあり、「その確率情報」が、単に目的カードが毎回均等に1/30の確率で出現することを意味しているのか、そうであれば、何故、そのことは公開されている、と表記せず、「確率情報」と敢えて言葉を用いているのか、「確率情報」がそれ以上のことを示しているのか、が分からない。
＿ここでは、「目的カードは独立に毎回均等に1/30の確率で出現し、そのことは公表されている。」と解釈する。
＿即ち、ダブりを許容した目的カードの出現率は7/30となる。

＿単純化の為に、7/30の確率で特定カードの抽選がある、と考える。7種類の特定カードが揃う(カード自体ではなく)特定カードの抽選の期待値の回数をN[回]とすると、N[回]の特定カード抽選を得るために必要なカード全体の抽選回数はN/(7/30)[回]となる。

＿k 種類持っている状態から新たに1種類ゲットするまでにかかる回数を Xk(確率変数)とおく。
＿求める期待値は N=E[X0 + X1 + X2 …… + X6]。
＿ここで期待値の線形性より、N=Σ(k=0→6)(E[Xk])。
＿Xk​=m となる確率は、(m-1)回失敗して、次に成功する確率なので、(k/7)^(m-1)✕(1-k/7)。
＿依って、
　　E[Xk​]=∑(m=1→∞){m✕(k/7)^(m-1)✕(1-k/7)}。
＿1+2r+3r²+4r³+……=1/{(1−r)²}、ここで、r=k/7とおくと、
　　∑(m=1→∞){m✕(k/7)^(m-1)}=1/[{1-(k/7)}²]、
「続く」