数学
高校生

数学についての質問です。
k^n (kとnは自然数)が素数pの倍数であるとき、kは素数pの倍数になりますか? また、なる場合なぜそうなるのか教えて頂きたいです。

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回答

条件から、自然数mを用いて
kⁿ=pmとおく.
ここで、kは素数pの倍数でないとする.kをpで割った余りをr(1≦r≦p-1)とすると、自然数qを用いて
k=pq+rと表せる.よって
pm=kⁿ
=(pq+r)ⁿ
≡rⁿ (mod p)
これはpmをpで割った余りがrⁿになることを示しているので、
rⁿ=0
したがって、r=0
これは、1≦r≦p-1であることと矛盾.
以上から、
kⁿは素数pの倍数⇒kは素数pの倍数
※対偶を利用してもいいでしょう.

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