Question

いしのとりこ

数II分数式の問題です。ネットでも検索してみたのですが部分分数分解の仕組みとなぜそのような考え方をするのかが分かりません。解説お願いします🙇‍♀️

③*27 次の式を計算せよ。
1
1
1
+
x(x-1)(x-1)(x-2)
(x-1)(x-2)(x-2)(x-3)

27 与式(11)+(1)
x-1
1
1
+
x-3
x-2
11
x-3 x
x-(x-3)
3
x(x-3)
x(x-3)

Answer 1

きらうる

数字で確認しましょう。
1/2-1/3　を通分します。このとき分母は6になりますね。ですので1/2の方には分母分子に3を、1/3の方には2をかけます。
(1×3)/(2×3)-(1×2)/(3×2)
＝3/6-2/6
＝1/6
となりますね。部分分数分解は、弧の逆を行っています。
1/6＝3/6－2/6＝1/2－1/3
のような感じです。

では、整式ではどうするのか。
1/x(x-1)を部分部分数分解するとき、
1/x－1/(x-1)
のような分数に分解したいのです。
ただ、分子の数が1でないときもありますので、

1/x(x-1)＝A/x－B/(x-1)
とおきます。そして右辺を通分します。
　　＝{A(x-1)-Bx}/x(x-1)
　　＝{(A-B)x-A}/x(x-1)
分母は同じなので、分子の恒等式から
A-B＝0、1＝-A　から、
A＝-1、B＝-1
となりますので、1/x(x-1)を部分分数分解すると
-1/x+1/(x-1)
となるわけです。

このように、問題に書かれている分数はすでに通分されている式なので、通分する前の分母にわけて、分子をA,Bなどでおいて、恒等式を作ります。