Question

ぎん

(1)です。なぜn＝3k +2までなんですか？

[1]
(2
410
基本例題 113 余りによる整数の分類
nは整数とする。 次のことを証明せよ。
(1) n²+1は3で割り切れない。
(2) n²を4で割った余りは0または1である。
CHARTO SOLUTION
nの式を自然数 m で割る問題
mで割った余りによってnを分類して考える・・・・・・!
(1) 3で割るから, すべての整数nを3k, 3k+1, 3k+2 (kは整数)の形で表し
て, n2+1を3で割った余りを求める。
解答
kを整数とする。
口 (1) [1] n=3k のとき
口 [2] n=3k+1 のとき
(2) 4で割るから, すべての整数nを4k, 4k+1,4k+2, 4k+3(kは整数)の
形で表して, n²を4で割った余りを求める。
n²+1=(3k+1)²+1=9k² +6k+2=3(3k²+2k)+2
口 [3] n=3k+2 のとき
n²+1=(3k)2+1=3・3k²+1
n²+1=(3k+2)²+1=9k²+12k+5=3(3k²+4k+1)+2
よって, n²+1を3で割った余りは1または2であるから,
n²+1は3で割り切れない。
口 (2) [1] =4k のとき
口 [2] n=4k+1 のとき
1 [3] n=4k+2 のとき
n²=(4k+1)^=16k²+8k+1=4(4k²+2k)+1
n²=(4k)2=4.4k²
① [4] n=4k+3 のとき
jp.407 基本事項③
n²=(4k+2)=16k²+16k+4=4(4k²+4k+1)
n²=(4k+3)^=16k²+24k+9=4(4k²+6k+2)+1
よって²を4で割った余りは0または1である。
[別解] [1] n=2k のとき
n²=(2k)2=4•k2²
[2] n=2k+1 のとき
ズーム
UP
基本例題 113に
n²=(2k+1)^=4k²+4k+1=4(k+k)+1
よって,n²を4で割った余りは0または1である。
nを3で割った余りが
1,2の場合に分け
nを4で割った余りが
1,2,3の各場合に
inf (2)の別解はnを!
割った余りで分類した。
本問ではこの方法で証明で
きたが、いつもうまくいく
とは限らない。 4で割ると
きの余りについての問題で
は,4で割った余りによっ
して分類するのが原則であ
る。
PRACTICE･･・･ 113②
nは整数とする。 次のことを証明せよ。
(1) 2²n+1は3で割り切れない。
(2) が5で割り切れないとき, n²を5で割った余りは1または4である。
SII
3で
整数を
はn=
なお,
とい
3k,
3k
3k
特
別

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑒

任意の整数nは、kを整数として
3k,3k+1,3k+2のいずれかで表せるからです.
(3k,3k±1としても可)

ぎん

なぜそのように表せれるんですか？

𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑒

整数
……-2,-1,0,1,2,……は
……3・(-1)＋1、3・(-1)＋2、3・0、3・0＋1、3・0＋2……というように、何れも3k,3k+1,3k+2の形になっているからです.
あるいは任意(全て)の整数は3で割ると必ず余りは0,1,2のどれかになる、ということからも示せます.

ぎん

なぜ3で割ると0、1、2のどれかになるのですか？

𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑒

例えば何でもいいので、ある整数を思い浮かべてください.3で割ると余りはいくつになりますか?

ぎん

10でやってみます。1です。

𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑒

そうですね.
他にも整数は
１２，６４，３２，４５７，２３５，３５３２３０・・・
など色々ありますが、これら含むすべての整数は(やってみればわかる通り)余りは必ず０，１，２のどれかになりますね.

ぎん

言われてみればそうでした！　ありがとうございます😊