Question

ぴひょ

数2 微分法 最大最小
主に3つの疑問点があります。

・(1)の場合分け[2]で3/k<0の時とは書かれていないのはどうしてですか？
・(2)で使われている増減表の範囲が0≦xだけなのはどうしてですか？x≦1はなぜ書かれていないのですか？
・(2)のf(0)-f(1)を求めて以降の考え方がいまいち理解できません。[1]と[3]で示されているkの範囲はどこから考え出したのか、教えて頂きたいです。

k0 とする。 関数f(x)=3x-kx+2(x) について,次の問いに答
えよ｡
(1) 最小値を求めよ。
(2) 最大値を求めよ。

0.08
KB/S
42f'(x)=9.x-2=(3x+k)(3x-k
f(x)=0とすると
f(0)=2, f(1)=-k2+5,
√(3²) = − 3 ² +³ +2
日 ] < 1 すなわち0<k<3のとき
み
におけるf(x) の増減表は、次のよう
0
k
k
3
0
2 極小 75
る。
よって, f(x) は
f(x)
よって, f(x) は
x=1.3 で最小値-10 +2をとる。
X
1
+
[2] 15 1/31 なわち3≦k のとき 0≦x≦1におい
f(x) ≧0であるから, f(x) は単調に減少す
0
x=1で最小値-k²+5をとる。
(2) x≧0 におけるf(x) の増減表は、次のように
なる。
k
3
0 +
2 極小
0≦x≦1において最大値はf(0) またはf(1) で
f(0)-f(1) =2-(-k²+5)=k²-3
= (k+√√3)(k-√√3)
[1] 0<k<√3のとき
f(0) <f(1)
よって, f(x)はx=1で最大値が+5をと
る。
[2] k=√3のとき
f(0)=f(1)
よって, f(x) は x=0, 1 で最大値2をとる
[3] v3kのとき
f(0) f(1)
よって、f(x) は x=0で最大値2をとる

微分法

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

HAL

・k>0と最初に定義しているので、k/3<0のときはありません。
・0<k/3<1のときや1≦k/3のいずれにしてもf(x)はf(0)またはf(1)で最大となります。そのため1はあえて書いていません。
・f(x)はf(0)またはf(1)で最大となることは分かりましたが、どちらが大きいかはまだ分かりません。そこで、f(0)−f(1)の符号により大小関係を調べます。

ぴひょ

ありがとうございます。
箇条書き2つ目について、まだ分からないので教えていただきたいです。｢そのため～｣がよく分かりません。起こりうる場合なら書いた方が良いのではないかとモヤモヤします。
最小値さえ書けば最大値になり得るxの値が想像出来るものということなんでしょうか？

HAL

2つ増減表を書いても全く問題ありませんが、ここでのポイントは、いずれの場合にしても(1とk/3の大小に関わらず)f(x)がx=k/3で極小値をとるということです。2つ増減表を書いても結局最大値は区間の端点なんだから1つにまとめちゃおう！って感じです。

ぴひょ

なるほど、そうなんですね。
2つ増減表を書く時、写真の模範解答の他にできるもうひとつの増減表を書いていただきたいのですが、可能でしょうか？

HAL

こうなります。

ぴひょ

ありがとうございます。丁寧な説明で理解できました。