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相加相乗平均とは2つの実数a>0,b>0があるとき
a+b≧2√abが成り立ち等号が成り立つのは
a=bとなる。
証明 左辺ー右辺≧0を示す
a>0,b>0のとき
a=(√a)²,b=(√b)²より
a+bー2√ab=(√a)²ー2√ab+(√b)²
因数分解すると
(√aー√b)²≧0
が成り立つから
a+bー2√ab≧0
等号は
(√aー√b)²=0より  √a=√b
両辺を2乗すると  a=b
このことから等号成立はa=bの時である。
17を除いて相加相乗平均を用いると
ⅹ²+16/x²≧2√(ⅹ²・16/ⅹ²)=2・√16=8
これに17を加えると
ⅹ²+16/ⅹ²+17≧2√(ⅹ²・16/ⅹ²)+17=25
等号成立はa=bの時であるから
a=ⅹ²,b=16/ⅹ²より
ⅹ²=16/ⅹ²
b/a=c/d(ただしa,b≠0)とすると
お互いの分母分子の積は等しいから
ac=bdが成り立つから
x⁴=16 ⅹ⁴ー16=0
因数分解すると
(ⅹ²+4)(ⅹ²ー4)=0
(ⅹ²+4)(ⅹ+2)(ⅹー2)=0
相加相乗平均の条件として
ⅹ²>0,16/ⅹ²>0を満たすxは正であるから
ⅹ=2

 

疑問点があれば質問して下さい。

ゆう

証明までありがとうございます!
わかりやすかったです🙇‍♀️

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