数学
高校生

方程式x^3-3ax+a=0が実数解を1個もつとき、定数aの範囲を求めよ。

実数解を3個もつときの定数aの範囲を求める問題の場合だと(極大値)×(極小値)<0で解けるのですが、この問題はどう解けばいいのでしょうか?
具体的には、(極大値)×(極小値)>0と「極値なし」の場合も考えなければいけませんよね…?
(極大値)×(極小値)>0の方は記述できると思うのですが、「極値なし」の場合の記述をどう書けばよいかわかりません

教えていただきたいです

回答

✨ ベストアンサー ✨

ちょこっといたずら書きみたいなやつ書いたので見て欲しいんですけど…こんな感じで場合分けですかね
この手の問題は解法を暗記することも重要ですが
やってくうちに解法が見えてくることもあります
このようにやるのが正しいかなぁ〜と思いましたね😊

まぐろのおすし

すみません
(ⅰ)について質問で、a=0でx=0のときってf’(x)の式に代入するとf’(x)=0になって、f’(x)>0とはいえないのではと思ったのですが…
むしろ(ⅱ)の方をf’(x)≦0にしたほうがいいのではと思ってしまいました…
教えていただ

まぐろのおすし

↑最後の文
 教えていただきたいです

場合分けを極値をもつ時と、もたない時で場合分けをした方がいいと思うので、(ⅰ)でf'(x)≧0とすればいいですね。

それか最初にx^3-3ax+a=0から、
x^3=3a(x-1/3)として3次関数y=x^3と直線y=3a(x-1/3)が共有点をただ一つもつ範囲を求めるやり方でも出来ますね。

そうですね、急いで書いたので少し誤りがありました。(I)に関してはでf'(x)≧0が正しいですね
この時微分した式ではなく元の三次関数を考えると、単調増加と言えるので、解が一つしかないと言うことができます。
=の時は単調増加である事を考えれば常に成り立ちますので(i)に入れておいた方が楽ですね

追加でコメントしてくださってる方がいますが、
定数を分離する方法ですね
今回はxが含まれていて、少し複雑にはなりますが
よく出てくることなので覚えておいて損はないと思います。

コメント遅くなり申し訳ありませんでした

まぐろのおすし

なるほどです
ありがとうございます

定数分離は知っていたのですが、自分もxが含まれている場合について解いたことがなくて、解き方を教えていただけないでしょうか?
aだけに分離できる問題は理解できるのですが…

簡単に説明すると、y=x^3上の接線が点(1/3,0)を通る時の傾きを求めると、その傾きが直線y=3a(x-1/3)の傾き3aと一致する時のaの値が求められる感じですかね。後は接している状態から、傾きを変化させることで、共有点が何個あるのかがわかると思います。

まぐろのおすし

教えてくださったことをヒントに自分なりにに解いてみたのですが、続きが書けませんでした…
このあとはどう解き進めていけばよいでしょうか?
また、傾きを変化させるとはどういうことでしょうか?
解いてみた感じ傾きは二通りになったのですが、そのふたつで場合分けをする、ということでしょうか…?

a=1/4,0のときに接することがわかった上で、直線の傾きが1/4や0よりも急だったりゆるやかだったら、曲線と直線の共有点をいくつもつのかを、グラフに描いて考えてみて下さい。このことを傾きを変化させると表現しました。

訂正:接する時の傾きは3/4と0でした。

まぐろのおすし

わかりました
少し考えてみます
わからないことがあったらまた質問させていただくかもです🙇‍♂️

数強じゃないので、お手柔らかにお願いします。

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