Question

あ

この問題を解く際の
逆数を取り、各辺にt-1を掛ける過程に関し、どのような意味を持ってこの作業をするのか教えていただきたいです🙇
加えて、t>1のときlogt>0と考えられるのは、0<a<bの条件からでしょうか。

KEN-KB GE
重要 例題196 2 変数の不等式の証明 (2)
0<a<bのとき、不等式√ab <
her
解答
不等式の各辺をα (0) で割って
指針 2変数の不等式の証明の方法には, 前ページの検討の [1]~[6] の方法が考えられるが、こ
b
b
の問題では logb-loga=logに注目し,
=tのおき換えの方針でいく。
a
不等式の各辺をa(>0)で割って
ゆえに,各辺の逆数をとって
logに〇だから/aくんから
各辺に t-1 (>0) を掛けて
内だと
のになる
t-1
f(t) == -logt とすると
√ t
t>1のとき
f'(t) = -
g(t)=logt-
t>1 のとき
1
1
2√√t
2t√t
f (1) = 0 であるから, t>1のとき
g'(t) =
+
2(t-1)
t+1
2(t-1)
t+1
t
t (t+1)²
b
Va
とすると
b-a
a+b
2
log b-loga
b
b a
<
a
b
a
b
log- a
b.
=tとおくと, 0<a<bであるからt>1で、不等式①は、<1-11
a
logt 2
t>1のときlogt>0であるから,各辺は正である。
2_logt 1
<
t+1 t-1
<logt<
f(t)=√F-11-logt
=
log|
-1
t-1
...
-1
b
a
1_t+1-2√t__(√F-1) ²
2t√ t
<
らい
g(t)=logt-2+
おき換えに利用
1+
in.b
1+
t+1
が成り立つことを示せ。
[岐阜大] 重要 195
2
A
->0
4 (t+1)2-4t_t2-2t+1_(t-1)2
t(t+1)²
b
a¨¨¨
2
2t√t
f(t) > 0 すなわち log<
a
t(t+1)2
t(t+1)²
g (1) = 0 であるから,t>1のとき g(t) > 0 すなわち
1
√t <1
logt
t-1
√t
pr
<p,g,r, s が正のとき
と同値。
t+1
2
POCEN
よく
f(t) は単調増加。
30 (3) Jel
24
2t-1)_2(t+1)-4
s g
->0
2(t−1)
t+1
<logt… ③1
よって, ②, ③ により, 不等式 A が成り立つから与えられた不等式は成り立つ
t+1
<g (t) は単調増加。
AES

不等式 微分 数3 数iii 理系 高校数学 大学受験 青チャート 微分積分

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

通りすがり@300BA獲得

Aの1つ上の式でf(t)やg(t)のような関数を作り微分してみようとしましたが、logがあちこちに残り整理できませんでした。なので、最初のご質問は、不等式の真ん中をlogtにするためだと思います。
次の質問は、対数関数の性質です。y=logxにおいて、x＞1でy＞0です。

あ

ありがとうございます！😭
2つ目の質問なのですが、間違えており、t>1と定義できる理由について、0<a<bであるからかをお聞きしたかったです🙇

通りすがり@300BA獲得

そうでしたか。
これは、a＜bの両辺をaで割れば出てきますね。

あ

改めての質問にも回答してくださり、ありがとうございます。🙇