第3章 図形と方程式
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例題 78
折れ線の長さの最小値
直線l:y=x+1 がある.直線ℓ上に点Pを
2点A(1,1),B(3,1)と直線
とり,AP+BP が最小になるような点Pの座標を求めよ.
MES
考え方 右の図のように, 2点A,Bが直線ℓに関して同じ側にあると
き, lに関して点Bと対称な点B'をとると, 点P をl上の
どこにとっても
A
APO+BPo=APO+B'Po
である。これより,AP+BP が最小となるのは、AP+B'P
が最小となるときで,このとき, 3点 A, P, B'′ が一直線上に
ある,つまり, 点Pが直線l 直線AB' の交点である.
■解答 直線lに関して, 2点A, B は同
じ側にある. lに関して点Bと対
点B' (a, b) とすると,
(sx) (AP+BP=AP+B'P
より, P が直線ℓ と AB' の交点の
とき, AP + BP が最小となる。
線分 BB' の中点 (a+3, b+1)
BUTTER
は直線l上にあるので,
+1 より
Focus
YA
B 4
1
y=x+1と③を連立させて解くと、
よって、求める座標は,P(241,4
0
a+b=4
キ
注〉点Aと対称な点A'をとってもよい
P
A
6+1 a +3
a-b=-4
2 2
lはx軸と平行でないから、BとB'′ のx座標は等しく
ならない。つまり, α=3である.
(直線BB') l より,
6-1 ･・1 = -1 つまり、
a-3
①,②を解くと, a=0, b=4
日差したがって, B'(0, 4) より 直線AB' の方程式は,
#
y-1=4=(x-1) つまり,y=-3x+4
0–1
x=
·②
2点が直線に関して同
COM側にあるかどうか確
認する.
まず, lに関して点B
と対称な点B'の座標
を求める.
B
3x
y =
折れ線の長さの最小値は, 線対称を利用
......
(近畿大改)
8: S
..3
***
2014
P Po
2点 (x1,y1), (x2, y2)
の中点
B
x2+x2
(22²² +2²)
中点の座標を
y=x+1に代入する.
B'
y y₁=
A
すると
直線 BB'の傾きは,
の傾きを
6-1
で, 2直線の垂
a-3
直条件は,mm'=-1
点 (x1, y2), (x2, y2)
を通る直線の方程式
y2-y₁
X2-X1
V1 (x-x1 )
