指針の部分の金額が最も大きい500円の枚数Xで場合分けすると、分け方が少なくてすむというのはどういうことですか。あと、解答の部分の丸しているゆえにの後の部分はどうやってこの式になったのですか。
基本例題 10 支払いに関する場合の数
00000
500円,100円,10円の3種類の硬貨がたくさんある。この3種類の硬貨を使っ
1200円を支払う方法は何通りあるか。ただし, 使わない硬貨があってもよ
いものとする。
基本7
指針 支払いに使う硬貨 500 円,100 円,10円の枚数をそれぞれx,y,zとすると
500x+100y+10z=1200 (x,y,zは0以上の整数)
この方程式の解 (x,y,z) の個数を求める。
...... 金額が最も大きい 500円の枚数xで場合分けすると, 分け方が少なくてすむ。
支払いに使う 500円 100円 10円硬貨の枚数をそれぞれ
解答 x,y,zとすると, x,y,zは0以上の整数で
500x+100y+10z = 1200 すなわち 50x
+10y+z=120 不定方程式 (p.569~)。
ゆえに 50x120- (10y+z) ≦120
y≧0, z≧0であるから
これを満た
50x≤120
す0以上の整数を求める。
よって 5x≦12
x=0, 1,2
xは0以上の整数であるから
[1] x=2のとき
10y+z=20
この等式を満たす0以上の整数y, zの組は
(y,z)=(2,0),(1,10),(0, 20) の3通り。
[2]x=1のとき
10y+z=70
この等式を満たす0以上の整数y, zの組は
(y, z)=(7, 0), (6, 10), ………, 0, 70 の8通り。
[3] x=0のとき
10y+z=120
この等式を満たす 0 以上の整数y, zの組は
(y,z)=(12,0),(11,10),
****, (0, 120)
の13通り。
[1], [2], [3] の場合は同時には起こらないから, 求める場
合の数は
3+8+13=24 (通り)
10y=20-z≦20 から
10y 20 すなわち y≦2
よって y=0, 1,2
10y=70-z70 から
10y≦70 すなわち y≦7
よって y=0, 1, …, 7
10y=120-z120から
10y≦120
すなわちy≦12
よって y=0,1, …, 12
和の法則
すべての種類の硬貨を使う場合の考え方
検討
もし、上の問題で 「すべての種類の硬貨を使う」とあった場合は,次のように処理できる
条件を先に片付けておくと, 数値が簡単になって処理しやすくなる。
①3種類の硬貨をすべて使う-
→1200円から, 500円 1枚, 100円 1枚, 10円1枚を除
いた 1200-(500+100+10)=590 (円) について考える。
② 590円の90円は10円硬貨で支払う→更に10円9枚を除くと 590-9×10=500(円)
後は,500円を支払う方法(使わない硬貨があってもよい)を考えると
500円 1枚のとき, 100円 10円とも0枚の1通り。
500円 0枚のとき, 100円, 10円の枚数をそれぞれα, bとすると
(a,b)=(0,50) 1,40) (2,30) (3,20), (4,10 (50) の6通り。
したがって, 合計で7通りある。
練習 10ユーロ, 20ユーロ,50ユーロの紙幣を使って支払いをする。 ちょうど200ユー
③10 口を支払う方法は何通りあるか。ただし、どの紙幣も十分な枚数を持っているもの
とし, 使わない紙幣があってもよいとする。
[早稲田大〕 p.357 EX9、
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章
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2 場合の数
指針の部分よく分かりました有難うございました！
解答の部分なのですが、ゆえにの後は理解できたのですが、次のよっての所ではなぜ120－（10y＋z）が消えているのですか。ここら辺がよく分からなくて、。