Question

ぷりん🍮

数II微積　最大最小
場合分けが2を基準にしているのは範囲が0<a<3だからということはわかったのですがそこを基準にしても二次関数みたいにうまくいかない気がするのですが、、

3次関数の決定
00000
0<a<3 とする。 関数f(x)=2x-3ax²+b(0≦x≦3) の最大値が10, 最小値が
-18のとき,定数a, b の値を求めよ。
指針 ① 区間における増減表をかいて, f(x) の値の変化を調べる。
②1 の増減表から最小値はわかるが, 最大値は候補が2つ出てくる。よって, その最大
値の候補の大小を比較し,αの値で場合分けをして最大値をa, b で表す。
解答
f'(x)=6x2-6ax=6x(x-a)
f(x)=0 とすると
x=0, a
0<a<3であるから, 0≦x≦3におけるf(x) の増減表は次の
ようになる。
0
x
f'(x)
f(x) 6\
76-27a+54
よって, 最小値はf(a)=b-a3 でありb-=-18
また, 最大値は f(0) = b またはf(3)=b-27a+54
f(0) と f(3) を比較すると
ゆえに
a
0
極小
b-a³
f(3) f(0)=-27a+54=-27(a−2)
0<a<2のとき
f(0)<f(3),
2≦a<3のとき(3)(0)
[1] 0<a<2のとき,最大値は
+
f(3)=b-27a+54
6-27a+54=10 すなわち b=27a-44
a³-27a+26=0
って
これを ① に代入して整理すると
ゆえに
(a−1)(a²+a−26)=0
-1±√105
2
よって
a=1,
0<a<2を満たすものは
このとき、①から
[2] 2≦a<3のとき, 最大値は
よって
b=10
これを①に代入して整理すると
a=1
b=-17
f(0)=b
......
a³=28
2833であるから, a=28>3となり、不適。
[1],[2] から
a=1,b=-17
11
(最小値)=-18
① 最大 最小
極値と端の値をチェック
大小比較は差を作る
( 最大値) = 10
10-27
基本211
1 1-26
11-26 0
26 1
< (最大値) = 10
◆場合分けの条件を満たすか
どうかを確認。
場合分けの条件を満たすか
どうかを確認。
hh (-25x≤1) OK
大
335
6章
3 最大値・最小値、方程式・不等式
37

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

記述における⇔大事だよね!

言いたいことが私の理解不足でいまいち伝わってこないので、もう少しだけ何が疑問なのかを教えて下さい。

ぷりん🍮

これが2次関数だったら軸が分かっているのでそこを超えるか超えないかでいけると思うのですが、この3次関数の場合答えで基準にしている2がグラフの下がるところや上がるところである極値とは分からないような気がしてしまいます。
分かりにくい質問で申し訳ありません。

記述における⇔大事だよね!

f(x)はx=aで極小値をとるので、a=2のときに、f(x)はx=2で極小値をとりますよ。

ぷりん🍮

それはどこで分かりますか？

記述における⇔大事だよね!

増減表から分かります。

ぷりん🍮

０と３の間からですか？

記述における⇔大事だよね!

そうですよ。0≦x≦3においてf(x)は、x=0で極大値、x=aで極小値をとるので、x=aで最小値をとりますよ。

記述における⇔大事だよね!

上手く話が噛み合っていない気がしますが、貴方が疑問に思うようなケースのグラフを1度描いていただけませんか?

ぷりん🍮

写真の2のところですよね！
グラフ書いてたらわかりました！

記述における⇔大事だよね!

ではもう大丈夫ですか？

ぷりん🍮

はい！
重ね重ね質問してしまい申し訳ありません💦
ありがとうございました！