Question

Hi（受験生）

３番です、１枚目の下線３行はどういうことでしょうか？
また、２枚目、解説にこのような図形があるのですが、３番の問題文からなぜこのような図を考えられるのですか？
また、問題文冒頭の球面Cの2次式がどのような図なのかあまりピンときません。

167 球と直線
座標空間内に,球面 C:x2+y^+z2=1 と直線があり、直線
1は点A(a, 1, 1) を通り, =(1,1,1) に平行とする.また,
a≧1 とする.このとき、 次の問いに答えよ.
(1) 上の任意の点をXとするとき, 点Xの座標を媒介変数tを
用いて表せ.
(2) 原点Oから
Hの座
に下ろした垂線との交点をHとする.
標をαで表し, OH をαで表せ.
(3) 球面Cと直線が異なる2点P, Qで交わるようなaのとり
うる値の範囲を求めよ.
(4) (3) のとき,∠POQ=90° となるαの値を求めよ.
|精講
(1) A(No, yo, Zo) を通り, ベクトル=(p,q,r) に平行な直
線上の任意の点をXとすると,
OX = (xo,yo, Zo)+t(p,q,r)
と表せます.
(2) Hは上にあるので, (1) を利用すると, OH がα と
tで表せます. そのあと, OH・u=0 を利用して, t
をαで表します.
(3) 球面Cと直線が異なる2点で交わるとき
OH < 半径
が成りたちます.
(4) POQ90
OP･OQ=0 と考えてしまっては, タイヘンです。
それは,PとQの座標がわからないので, OP, OQを成分で表せないから
です。座標やベクトルの問題では, 幾何の性質を上手に使えると負担が軽く
なります。
解答
(1) OX=OA+tu=(a, 1, 1)+(t, t, t)
=(t+a, t+1, t+1)
U
X(t+a, t+1, t+1)

(2) Hは上の点だから, (1) を用いて
OH=(t+α, t+1,+1) と表せる.
ここで, OF だから,
OH・u=t+a+t+1+t+1=3t+a+2=0
..
t=_9+2
3
このとき, t+α=
よって、H (24-2.g+1, -g+1)
3
3
3
2a-2
3
a≧1 だから, OH = -
また, OH-16 (a-1)+1/(a+1)+1/(a+1)*
OH'=
=(a-1)^
② ポイント
演習問題 167
9
(3) OH<1 だから,
• 1≤a<1+√6
(4) ∠POQ=90° だから, OH =
2
t+1=-
3
a+1
3
-a-1|= (a-1)
(a-1)<1
√2
3
仮定に α 1 がある
√(a-1)=√2a=1+√3
√√A²=|A|
0₁
| 33 2点間の距離の公式
1
b
H
中心 (a,b,c), 半径rの球面の方程式は
(x-a)+(y-b)2+(z-c)2=22
1
u
H
180
167 において,
(1) POQ=60° となるようなaの値を求めよ.
(2) 線分PQの長さが最大になる点Aに対して, 球面C上の動点R
をとり,線分 ARを考える。 線分 AR の長さを最小にする点 Ro
の座標を求めよ.
第8章

Answer 1

通りすがり@300BA獲得

球面Cは、中心が原点、半径が1の球です。1枚目は球の半径と、原点と直線l（エル）の距離を考えています。
2枚目の図は、(4)に対してのものですね。もう少し下に下げてほしいですね💦

Hi（受験生）

x²+y²+z²=1の1は半径の2乗を表しているのですか？
すみません、下に下げるとはどういうことでしょう？

通りすがり@300BA獲得

https://manabitimes.jp/math/1029
球面の方程式に関する説明が載っているサイトです。右辺の1は、1^2のことです。
後半の「下に下げる」というのは、(3)の横にある図は、実際は(4)に対する図なので、できるだけ(4)の近くに配置してほしかった、という意味です。