Question

Haruki

オイラーの定理やフェルマーの小定理の分野です。
考え方や答えがわからないとしても、別の見方があれば教えていただきたいです。

a,b,c,d,e を整数とする。
00-60 +0+ d + e がある整数の6乗と一致し、 かつ7で割れなかったとすると
a,b,c,d,eの中で7の倍数であるものは、ちょうど
個である。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

crane

mを整数とするとき、m^6を7で割った余りは、
mが7の倍数のとき0、
mが7の倍数でないとき1
となります。これがフェルマーの小定理（から分かること）です。
つまり、整数を6乗したものを7で割った余りは0か1しかないということです。
この事実を使って問を解きます。

a^6+b^6+c^6+d^6+e^6はある整数の6乗と一致するので、上の事実から7で割った余りは0か1です。
さらにこの数は7で割り切れないと問題にあるので、7で割った余りは1だと確定します。
一方で、a^6, b^6, c^6, d^6, e^6の五つの数もまた、7で割った余りはそれぞれ0か1です。
0と1どっちなのかということになりますが、
これらの合計を7で割った余りが1だということを踏まえると、
a^6, b^6, c^6, d^6, e^6の五つのうち
余り0のものが四つで、余り1のものが一つとなるしかありません。

以上より、a, b, c, d, eのうち7の倍数は4つであると分かります。

こんな感じかと思います。

Haruki

解答ありがとうございます。
とても参考になりました。