実戦問題 12 2次不等式の解
Ero
[1] a,b,c を定数とする。 2次不等式 ax²+bx+c>0 の解が2<x<3 となるとき, b,c をaを用いて表すと,
b= アイ α, c=ウαである。
このとき 2次不等式 ax + cx-6≦0 の解は I と表すことができて,α, β の値は α = オカ, β=キクで
ある。 I には, 当てはまるものを、次の⑩~③のうちから一つ選べ。
Ⓒa<x<B ①a≦x≦
② x < α,β<x ③ x ≦a, B≦x
[2] mを整数とする。 2次不等式 (m-7)x²+2mx-m+1 > 0 を満たす実数xが存在しないとき, 整数mの値は,
m = ケ である。このとき, xの不等式 m≦x2+2x≦m+1の解は
コサ ≤x≤ シス]
t
[シス] +√
Ł [≦x≦ソである。
10)
(
[1] f(x)=ax²+bx+c とおく。
2次不等式より a≠0
2次不等式f(x) > 0 の解が2<x<3 となるとき
y=f(x)のグラフが次のよう
になればよい。
a < 0 かつf(2)=f(3) = 0
4a+2b+c = 0
... 1
f(2)=0 より
f(3)=0 より
...2
9a +36 + c = 0
②-① より, 5a+b=0となり
5
α>0のとき2次不等式の解は
>x<pg<x となり,2<x<3
とはならない。
+ ②x2-① ×3より, 6a-c=0となり
このとき, 不等式 ax² +cx-6≦0 は
両辺を α (< 0) で割ると x2 +6x +5≧0
(x+1)(x+5) ≧0より
よって,解の形は ③ であり
不等号の向きが逆になること
に注意する。
x≦-5, -1≦x
α = -5, β = -1
S
〔2〕 g(x) = (m-7)x²+2mx-m+1 とおく。
+= (9)
2次不等式 g(x) > 0 を満たす実数 x が存在しないとき、求める条件は, y=g(x)のグ
方程式 g(x)=0 の判別式をDとすると
より
ラフが上に凸の放物線で、 かつ
m-7<0... ③ かつ D≦0… ④
x軸より上になる部分が存在し
ないことである。
③ より
m<7
D
D=0/
x
④ より
=m²-(m-7)(-m+1)≦0
0> AS
4
/D<0
2m²-8m+7≤0 となり 4-√2 sms 4+√/2...
2 = 1.41.･･ より, ④' は
③'④′より,求める整数mの値は m=20
1.2･･･<m< 2.7･･･
このとき, 不等式 m≦x+2x≦m+1は
2≦x2 + 2x≦3
2≦x+2x より,x2+2x-2≧0であるから
x≦-1-√3, -1+√3≦x
x2+2x≦3 より (x+3)(x-1)≧0であるから
-3 ≤ x ≤ 1
-1-√3
よって, 不等式 ⑤ の解は, ⑥, ⑦ の共通部分であるから
-3 ≤x≤-1-√√√3, -1+√3 ≤x≤1
解答
Key
Key 2
c = 6a
ax² +6ax +5a ≤ 0
bax + 5a
-1+√3
攻略のカギ!
Key 1 2次不等式の解はxの係数の符号に注意せよ
2次不等式f(x)=ax+bx+c>0 の解が
2
α
x
α
B
(ア) x <a, B <x⇒a>0かつf(α)=f(B) = 0
(イ) α <x<B
⇒a<0かつf(α)=f(B) = 0
Key 2解をもたない2次不等式は,x2の係数と判別式の正負を考えよ
xの2次関数f(x)=ax+bx+c において, f(x)=0 の判別式を D=64ac とすると
(ア) f(x) > 0 を満たす実数xが存在しない ←
a < 0 かつ DI
(イ) f(x) ≧0 を満たす実数xが存在しない
a < 0 かつ D0
(ア)
(イ)
2章
2次関数
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