15 2次の解の/基本的法-
+ar+b=0の2つの解a, Bが一2<a<3, -2<B<3を,(a, b)\
7村1対応の違
(龍谷大·文系
S(x)=0の実数解を, y=ノ(r)のグラフと 軸との共有点のr座標と1 -
とらえるという,視覚的な(グラフで考える)方法
である。ここで,y=/(r)のグラフの考察のポイントは, (例題 10の0°~2°をふまえ)
が存在する領域を ab平面上に図示せよ。
*21?9+D+;"=(2)/ '2710-9+20"
本間は解の配置に関する典型的問題である. その基本的処理法は
解の配置
0°下に凸か上に凸か(本間の場合, 下に凸)
° 判別式の符号
2" 軸の位置
区間の端点での値
である。本間のように, 0'ははじめから分かっていることが多い。
リ=f(x)/
『(r)=r"+ar+bとおくと, y=f(r)のグラフ
とょ軸が-2くょく3の範囲に異なる2交点をもつ条
件を求めればよい。
f(x)%3D0の判別式をDとすると, その条件は, 次
のパ~3°がすべて成り立つことである。
韓0<(Z-)
介軸の位置2°を考えないと,例えは、
右図の場
合も含ま
8
れてしま
う。
0
-2
Tf(-2)>0
-2<エ<3で
0<9}-;D=Q I
0<a
解をもたない
2° 軸について: -2<-
f(3)>0
3° 端点について:f(-2)>0かつf(3)>0
-2 03
a?
->9 → I '2コ2
4
0<a
2…… >D>9- = 2
また、f(-2)=-2a+b+4, f(3)=3a+b+9であるから,
b=2a-4とb=-3a-9の交点
介は(-1, -6)
したがって,題意の条件は, ①~①が同時に成り立つ
ことで,これを満たす(a, b) の範囲は右図の網目部
分のようになる (境界は含まない)。
*注 境界線は放物線と直線であるが, 放物線と直
線は接している。
一般に,2次方程式の解の配置の問題において,
境界線に現れる放物線と直線は接している(はずな)
ので,それに注意して図示しよう。
………… 6-08I<9 Cif 8.. トー27<9 →8
+9
;a2
接する
=9
例えば、b=
とb=2a-4を
4
a?
ー(2a-4)=0
合連立させると,
0
D
b=2a-4
9-
. a-8a+16=0
a=4(重解)
6-DE-=9-
で確かに接している。 (いつも接
0=(レーD)
することを説明するのは難しいの
で省略するが,接することは憶え
ておこう)
015 演習題(解答は p.60)
2次方程式+(2a-1)x+α'-3a-4=0が少なくとも1つっ正の解をもつような実数
の定数aの値の範囲を求めよ。
軸の位置か,2解の
パターンで場合分け。
(信州大·工)
SARASA OI
